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《第十章 10.2 双曲线及其性质(01)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§10.2双曲线及其性质考点一 双曲线的标准方程1.(2014天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案 A考点二 双曲线的几何性质2.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A.3B.3C.3mD.3m答案 A3.
2、(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案 A4.(2014广东,4,5分)若实数k满足00,b
3、>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得
4、PF1
5、+
6、PF2
7、=3b,
8、PF1
9、·
10、PF2
11、=94ab,则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3答案 B6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若
12、F1A
13、=2
14、F2A
15、,则cos∠AF2F1=( )A.14B.13C.24D.23答案 A7.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与y24-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程为 . 答案 x23-y212=1;y=
16、±2x8.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足
17、PA
18、=
19、PB
20、,则该双曲线的离心率是 . 答案 529.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总
21、与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析 解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,从而双曲线E的离心率e=ca=5.(2)由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则
22、OC
23、=a,
24、AB
25、=4a,又因为△OAB的面积为8,所以12
26、OC
27、·
28、AB
29、=8,因此12a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为x24-y216
30、=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24-y216=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x24-y216=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C-mk,0.记A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,y=2x得y1=2m2-k,同理得y2=2m2+k.由S△OAB=12
31、OC
32、·
33、y1-y2
34、得,12-mk·2m2-k-2m2+k=8,即m2=4
35、4-k2
36、=4(k2-4).由y=kx+m,x24-y216=1得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
37、因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-1238、t,0).由S△OAB=12
39、OC
40、·
41、y1-y2
42、=8,得12
43、t
44、·2t1-2m+2t1+2m=8,所以t2=4
45、1-4m2
46、=4(1-4m2).由x=my+t,x2a2-y24a2=1得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-1<0
