2、AF1
3、=3
4、F1B
5、,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为
6、 . 答案 x2+32y2=13.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:x29+y24=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则
7、AN
8、+
9、BN
10、= . 答案 124.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解析 (1)设F(c,0),由条件知,2c=233,得c=3.又ca
11、=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为x24+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>34时,x1,2=8k±24k2-34k2+1.从而
12、PQ
13、=k2+1
14、x1-x2
15、=4k2+1·4k2-34k2+1.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1,所以△OPQ的面积S△OPQ=12d·
16、PQ
17、=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4
18、t.因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.考点二 椭圆的几何性质5.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 . 答案 226.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜
19、率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且
20、MN
21、=5
22、F1N
23、,求a,b.解析 (1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.①由
24、MN
25、=5
26、F1N
27、得
28、DF1
29、=2
30、F1N
31、.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入C
32、的方程,得9c24a2+1b2=1.②将①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.7.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为43,13,且BF2=2,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因
33、为B(0,b),所以BF2=b2+c2=a.又BF2=2,故a=2.因为点C43,13在椭圆上,所以169a2+19b2=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为xc+yb=1.解方程组xc+yb=1,x2a2+y2b2=1,得x1=2a2ca2+c2,y1=b(c2-a2)a2+c2,x2=0,y2=b.所以点A的坐标为2a2ca2+c2,b(c2-a2)a2+c2.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为2a2ca2+c2,b(a2-c2)a2+c2.因为直线
34、F1C的斜率为b(a2-c2)a2+c2-02a2c
