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1、第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1答案 A 2.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设
2、O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析 (1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.又由a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=1m,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将
3、直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=±1.此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×12·
4、OF
5、·
6、y1-y2
7、=24mm2
8、+32-4·-2m2+3=23.3.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,
9、AF1
10、=3
11、F1B
12、.(1)若
13、AB
14、=4,△ABF2的周长为16,求
15、AF2
16、;(2)若cos∠AF2B=35,求椭圆E的离心率.解析 (1)由
17、AF1
18、=3
19、F1B
20、,
21、AB
22、=4,得
23、AF1
24、=3,
25、F1B
26、=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,
27、AF1
28、+
29、AF2
30、=2a=8.故
31、AF2
32、=2a-
33、A
34、F1
35、=8-3=5.(2)设
36、F1B
37、=k,则k>0且
38、AF1
39、=3k,
40、AB
41、=4k.由椭圆定义可得
42、AF2
43、=2a-3k,
44、BF2
45、=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得
46、AB
47、2=
48、AF2
49、2+
50、BF2
51、2-2
52、AF2
53、·
54、BF2
55、cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)(2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有
56、AF2
57、=3k=
58、AF1
59、,
60、BF2
61、=5k.因此
62、BF2
63、2=
64、F2A
65、2+
66、AB
67、2,可得F1A⊥F2A
68、,△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=22a,所以椭圆E的离心率e=ca=22.4.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析 (1)由题意得c=5,∵e=ca=53,∴a=3,∴b=a2-c2=2,∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方
69、程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,∴k1k2=4-y029-x02(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴4-y029-x02=-1,∴x02+y02=13,即此时点P的轨迹方程为x02+y02=13.当两条切线中有
70、一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x02+y02=13(x0≠±3).综上所述,所求P点的轨迹方程为x02+y02=13.考点二 椭圆的性质5.(2014江西,14,5分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)
