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《2019年高考数学真题分类汇编 10.1 椭圆及其性质 文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019年高考数学真题分类汇编10.1椭圆及其性质文考点一 椭圆的定义和标准方程1.(xx大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 A 2.(xx四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边
2、形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析 (1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,
3、所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以解得m=±1.此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·
4、OF
5、·
6、y1-y2
7、=2=2.3.(xx安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,
8、AF1
9、=3
10、F1B
11、.(1)若
12、AB
13、=4,△ABF2的周长为16,求
14、AF2
15、;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.解析 (1)
16、由
17、AF1
18、=3
19、F1B
20、,
21、AB
22、=4,得
23、AF1
24、=3,
25、F1B
26、=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,
27、AF1
28、+
29、AF2
30、=2a=8.故
31、AF2
32、=2a-
33、AF1
34、=8-3=5.(2)设
35、F1B
36、=k,则k>0且
37、AF1
38、=3k,
39、AB
40、=4k.由椭圆定义可得
41、AF2
42、=2a-3k,
43、BF2
44、=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得
45、AB
46、2=
47、AF2
48、2+
49、BF2
50、2-2
51、AF2
52、·
53、BF2
54、cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(
55、2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有
56、AF2
57、=3k=
58、AF1
59、,
60、BF2
61、=5k.因此
62、BF2
63、2=
64、F2A
65、2+
66、AB
67、2,可得F1A⊥F2A,△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.4.(xx广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析 (1)由题意得c=,∵e==,∴a
68、=3,∴b==2,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,∴k1k2=(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴=-1,∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切
69、线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13(x0≠±3).综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.考点二 椭圆的性质5.(xx江西,14,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 . 答案 6.(xx辽宁,15,5分)已知椭圆C:
70、+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则
71、AN
72、+
73、BN
74、= . 答案 127.(xx天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知
75、AB
76、=·
77、F1F2
78、.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆
