2014年高考数学真题分类汇编 10.2 双曲线及其性质 理

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1、§10.2双曲线及其性质考点一　双曲线的标准方程1.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案　A考点二　双曲线的几何性质2.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A.B.3C.mD.3m答案　A3.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)

2、A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案　A4.(2014广东,4,5分)若实数k满足00,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=3b,

7、PF1

8、·

9、PF2

10、=ab,则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.3答案　B6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若

11、F1A

12、=2

13、F2A

14、,则cos∠AF2F1=

15、(　　)A.B.C.D.答案　A7.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为　　　　;渐近线方程为　　　　. 答案　-=1;y=±2x8.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足

16、PA

17、=

18、PB

19、,则该双曲线的离心率是　　　　. 答案　9.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;4(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直

20、线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析　解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则

21、OC

22、=a,

23、AB

24、=4a,又因为△OAB的面积为8,所以

25、OC

26、·

27、AB

28、=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双

29、曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=

30、OC

31、·

32、y1-y2

33、得,·=8,即m2=4

34、4-k2

35、=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),4又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程

36、为-=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-

37、OC

38、·

39、y1-y2

40、=8,得

41、t

42、·=8,所以t2=4

43、1-4m2

44、=4(1-4m2).由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4

45、m2)(a2-4)=0,所以a2=4,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法三:(1)同解法一.(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因为△OAB的面积为8,所以

46、OA

47、·

48、OB

49、·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,所以·=8,化简得x1x2=4.