自招竞赛课程数学讲义：自主招生测试中的复数问题【讲师版】

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1、自招竞赛数学“自主招生考试中的复数问题”讲义编号：学员：年级：授课日期：讲师：授课方式（在线或线下）：（线下填）授课教学点：知识定位复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，由此，该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容。知识诊断1.已知复数的代数形式为：，它的共轭复数是？2.已知复数的代数形式为：，你知道它的三角形式和指数形式吗？3.复数相乘在复平面上有什么几何含义？知识梳理见例题讲解前的知识整理。常见题型和

2、方法解析1复数知识1.1复数的表示形式与运算代数形式：三角形式：指数形式：7例1设复数，令，则复数（2011，复旦大学自主招生考试）例2已知，若为实数，则最小的正整数的值为（）（2011，全国高中数学联赛山东赛区预赛）（A）3（B）4（C）5（D）6注：由于所求n的值比较小，可见，解法l不失为一种好方法，若所求n的值较大时，解法2的优越性就体现出来了．1.2复数的模与共轭复数例3已知，为实数，为复数，求的最大值。（2006，上海交通大学自主招生考试）7例4设是模为2的复数，则的最大值与最小值的和为。（2011，全国高中

3、数学联赛湖北赛区预赛）1.3复数的单位根例5已知和均为1的复数根的集合，也为1的复数根的集合，问：集合C中有多少个不同的元素？7综合习题拓展1复数方法1.1在代数问题中的应用构造适当的复数，可以化简某些代数问题的求解，开拓新的思路和方法。在此类问题中，经常涉及的有两点：(1)一个非负数可以用一个复数的模来表示；(2)一个复数可以表示一对实数。例6对自然数，令为的最小值，其中，为正实数，其和为17。若存在唯一的使也为整数，求。71.1在三角问题中的应用复数与三角函数之间的联系主要依赖于复数的指数形式(或三角形式)，借助于

4、复数的指数形式和运算(或辐角运算)可达到三角求值、证明的目的。例7设三个复数且，求。（2008，南京大学自主招生考试）试题演练1求的模。（2009，清华大学自主招生考试）2求最小的正整数，使得为纯虚数，并求出。（2006，清华大学自主招生考试）3计算74设为单位圆内接正七边形顺次七个顶点，则。（2012，南开大学数学试点班考试）参考答案7讲师评价知识点课后掌握情况所需习题编号是否需要课时加强课后掌握情况评分：1对本知识点毫无所知，闻所未闻。2了解该知识点，能完成简单的识记题。3 理解该知识点，能运用其分析解答简单问题。

5、4 把握知识的意义，但缺乏练习与手感，解答稍难的题目速度慢。5 深刻了解知识内核，能完成相应试题，但有一定的错误率。6 能够较熟练利用该知识点解决相关试题，但题目稍加变形就难以入手。7 熟悉该知识点各要素，能顺利解答该知识点范围内各种题目的变形。8 能把该知识点与其他知识相关联，解答高考中的压轴题。9 懂得出题规律，只对该知识点范围的难题有兴趣！10 已拿下该知识点，拥有金钟罩，刀枪不入。7