资源描述：
《赏析自主招生考试中的复数问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2013年第6期自轰招生与么李竞赛赏析自主招生考试中的复数问题高莲芳(天津师范大学数学科学学院20n级研究生,30387)中图分类号:0156.1文献标识码:A文章编号:105一6416(2013)06一013一03复数具有代数形式!三角形式!指数形式(为n,全国高中数学联赛山东赛区预赛)等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新解法1注意到,当"二1时,:二万一31的视角!新的途径沟通了代数!三角和几何等不是实数;内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主当"=2时,:=(万一31).=一6一6万i招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重不是实数;要内容.当"=3时,
2、:=(万一31).=一24万是复数知识实数.从而,所求的最小正整数n二3.复数的表示形式与运算解法2注意到,代数形式::=a+61(a!b任R);三角形式::=(万一3i)/=(一2万)/e一贯所以,z为实数的充分必要条件是3!n.:二r(coss+1sins)(r20,口任R);此时,最小的正整数n二3.指数形式::=:e-口(;)0,o任R).=评注>由于所求n的值比较小,可见,例1设复数解法1不失为一种好方法,若所求n的值较大时,解法2的优越性就体现出来了.一t,.,,=一土2+.夸2一1..1.2复数的模与共辘复数2兀二2兀/2=/05了+./-n了.例
3、3已知l:l二1,k为实数,:为复数.令"=","2.则复数求Iz+脸+11的最大值.(206,上海交通大学自主招生考试)田+田2+,+田2011=解设z二eos叮+1sin叮.则(2011,复旦大学自主招生考试)扩+七+1解显然,",=e鲁,"2二e聋=eosZ宁+1sinZ,+k(eos叮+1sin叮)+l则"=","2二e万#=(,匆+k,叮+l)+i(sin匆+ksin叮).故lz+kz+11故"+"+,+0,2011"(l一田20,,l一田2010=丫("052"+无eo,"+l)2+(,inZ"+ksin,).而田20-.二田#"=",于是,田+田,
4、+田=办eos,"+4无eos"+无,=12eos叮+kl.例2已知:二(万一31)/.若:为实数,k+2,k)0;则最小的正整数n的值为().川所以,Iz+七+11~=2一k,k<0.(A)3(B)4(C)5(D)6例4收稿日期:20提一09一18修回日期:2013一03一肠设:是模为2"复数.衅一引中等数学的最大值与最小值的和为_12}例6对自然数n,令S"为(2011,全国高中数学联赛湖北赛区预赛)解由lzI=2,知菩丫-./一0.+a:I:+11.二(:+l)(云+l)的最小值,其中,a.,a:,,,a"为正实数,其和为二坛+z+牙+l二5+ZRez,1
5、7.若存在唯一的"使s"也为整数,求".[4]12一112=(:一1)(卜l)解将习丫万不不不石万视为复数二云一z一云+1二5一ZRez.(2无一l)+a*i的模.石宜义-l}z一)川}二}了)一1}12!l-}故艺丫(2!一-).+a:名*=1队以卜队n曰知名!n_}:+川:一1}_再了二万豆石万l(Zk一l)+a*11其-!最一大~值~为~冬2,.最一小-值~为/冬2.-多仁(Zk一l)+a*i8故所求为4..3复数的单位根=一",+川一丫n4+17,例5已知由题设条件得A二1:一:,吕二l}和召=101"铭=l}n4+17,=m,(m任N十,m=S")均为
6、1的复数根的集合,井(m一n,)(m+n,)=259C二!二12任A,-任B}劝m一nZ二l,m+nZ=289也为1的复数根的集合.问:集合C中有多少劝n=12.个不同的元素?[a22.2在三角问题中的应用解注意到,Zk7r二2阮,,,~!,._口_复数与三角函数之间的联系主要依赖于z=/05百+./,n面L/匕L八相并兀复数的指数形式(或三角形式).借助于复数素18个)的指数形式和运算(或辐角运算)可达到三角求值!证明的目的.田二一资#i#-#篇/任z,-相异元例7设三个复数素48个)21=eosA+1sinA,22=eosB+1sinB,一丝-斋至立+-9n
7、-丝互斋鱼立23二eosC+1sinC,令P=lmlm二8几+3r,:任Z}.且:,+z:+z:二0.由裴蜀定理知尸=z.求"05(A一B).故集合C中有14个不同元素.(208,南京大学自主招生考试)2复数方法解由z:+z:+23=0,得eosA+eosB+eosC=0,2.1在代数问题中的应用sinA+sinB+sinC二0.构造适当的复数,可以化简某些代数问从而,"osA+eosB=一eosC,题的求解,开拓新的思路和方法.在此类问题sinA+sinB=一sinC.中,经常涉及的有两点:两式平方再相加整理得(l)一个非负数可以用一个复数的模来2+Zeos(
8、A一B)二1.表示;(2
