赏析自主招生考试中的复数问题

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1、2013年第6期13赏析自主招生考试中的复数问题高莲芳(天津师范大学数学科学学院2011级研究生，300387)中图分类号：0156．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2013)06—0013—03复数具有代数形式、三角形式、指数形式(2011，全国高中数学联赛山东赛区预赛)等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新解法1注意到，当n=l时，z=一3i的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等不是实数；内容之间的联系，由此，该知识点是高校自主当n：2时，z=(一3i)=一6—6i招生考试(也是高考与数学竞赛)

2、的一个重不是实数；要内容．当n=3时，=(一3i)：一24,／5是1复数知识实数．从而，所求的最小正整数凡=3．1．1复数的表示形式与运算解法2注意到，代数形式：z=0+bi(口、b∈R)；z=(一3i)=(一2)e一．三角形式：z=r(COS0+isin0)(r>_-0，0∈R)；所以，为实数的充分必要条件是3此时，最小的正整数n=3．指数形式：=re(r≥0，0∈R)．例1设复数【评注】由于所求n的值比较小，可见，解法l不失为一种好方法，若所求n的值较l√3．tol一+于大时，解法2的优越性就体现出来了．1．2

3、复数的模与共轭复数2吣¨ni‘例3已知=1，k为实数，z为复数．令60=12．则复数求Iz++1I的最大值．+∞2+⋯+20ll(2006，上海交通大学自主招生考试)=．解设g=COS9+isinq．则(2ol1，复旦大学自主招生考试)z++1解显然，1=e一3，2=e一5．=COS2q+isin2q+k(COSq+isinq)+1则cIJ1∞2=eq3-．=(COS2g+kcosg+1)+i(sin2g+ksing)．故Iz++1I故∞+．．2011：1一=,／(cos2q+kco$g+1)+(sin2q+ksi

4、ng)而叭们。·∞∞，于是，∞+2++∞20l1=⋯百．=12cosg+kJ．例2已知z=(一3i)“．若z为实数，则最小的正整数的值为()．所以,Iz2++lira==：t_-0(A)3(B)4(C)5(D)6例4设是模为2的复数．则I一一1收稿日期：2012—09—18修回日期：2013—03—06i14中等数学的最大值与最小值的和为——．_2]例6对自然数n，令5为(2011，全国高中数学联赛湖北赛区预赛)∑—解由=2，知I+1I=(z+1)(三+1)的最／J、值，其中，a。，a：，⋯，a为正实数，其和为=+

5、+三+1：5+2Re．17．若存在唯一的n使s也为整数，求n．1z一1I=(z一1)(三一1)解将∑、／，视为复数=一z一；+1=5—2Rez．(2k一1)+口i的模．故1z一Il故∑二TI+1lIz—ll4／—25-4—Rezk=I—lzl一2‘=∑I(2k—1)+口iIk=1其最大值为÷，最小值为÷．≥I∑k[(2．i}一1)i]l故所求为4．=l01．3复数的单位根=l+l7il=n+l7例5已知由题设条件得A={Iz埽：1}和B：{∞I∞柏=1}凡+17：m(m∈N+，m=S)均为1的复数根的集合，(m—n

6、)(m+n)=289C={gWl∈A。W∈B}=m一7l=1．m+n=289也为1的复数根的集合．问：集合C中有多少=》：12．个不同的元素?[]2．2在三角问题中的应用解注意到，复数与三角函数之间的联系主要依赖于2kTrz=c。s。+isimn等(jc∈z)八(相异元兀复数的指数形式(或三角形式)．借助于复数素18个)，的指数形式和运算(或辐角运算)可达到三角求值、证明的目的．=c。s+isimn(lt∈Z)八(相不日异并元兀例7设三个复数素48个)，1=COSA+isinA，∞2(8后+3t)．．27r(8k+

7、3t)—一虬“一一2=COSB+isinB，·3=COSC+isinC，令P={mIm：8k+3t，t∈Z}．且1+z2+3=0．由裴蜀定理知P=Z．求COS(A—B)．故集合c中有144个不同元素．(2008，南京大学自主招生考试)2复数方法解由l+2+3=0，得COSA+COSB+COSC=0．2．1在代数问题中的应用sinA+sinB+sinC=0．构造适当的复数，可以化简某些代数问从而，COSA+COSB=一COSC，题的求解，开拓新的思路和方法．在此类问题sinA+sinB=一sinC．‘中，经常涉及的有

8、两点：两式平方再相加整理得(1)一个非负数可以用一个复数的模来2+2cos(A—日)=1．表示；1所以，cos(A—B)=一÷．(2)一个复数可以表示一对实数．2013年第6期2．3在几何问题中的应用B+wC：+．(复数的几何意义是表示高斯平面(即复将式①、②代人并整理得平面)上的点．通过复平面可以实现复数与sin3"e(一擎了)Jis1inO／．·e(竽了