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1、Y.P.M数学竞赛讲座1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b∈R);②三角式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数式:z=reiθ(r≥0,θ∈R);④欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,θ∈R.⑵共轭与模:①=;=;=;②
2、
3、z1
4、-
5、z2
6、
7、≤
8、z1+z2
9、≤
10、z1
11、+
12、z2
13、;
14、z1z2
15、=
16、z1
17、
18、z2
19、;
20、
21、=;③z=
22、z
23、2=
24、
25、2;④z=z∈R;
26、z
27、=
28、
29、Re(z)
30、z∈R.⑶运算法则:①乘法:r1(cosθ1+isinθ2)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:=(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ);④开方:zn=r(cosθ+isinθ)z=(cos+isin)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数z的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z的辐角主值,记为a
31、rgz;②运算:Argz1+Argz2=Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg()=Arg(z1);nArgz=Argzn;③性质:若z=cosθ+isinθ,则1+z=2cos(cos+isin);1-z=-2sin(cos+isin).⑵单位根:①定义:方程xn=1的n个根叫做n次单位根,分别记为ωk(k=0,1,2,…,n-1);ωk=(cos+isin)(k=0,1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk=ω1k;ωkωj=ωk+j;单位根的积仍是单位根;n次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1
32、)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=xn-1.⑶基本结论:①实系数n次方程的虚根α与其共轭复数成对出现;②若
33、z1
34、=
35、z2
36、=…=
37、zn
38、,且z1+z2+…+zn=0,则z1,z2,…,zn对应的点是正n边形的顶点,且正n边形的中心在坐标原点;③若复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,且z1=z0z2,则∠Z1OZ2=argz0,或argz0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi与向量=(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则
39、Z1Z2
40、=
41、z
42、1-z2
43、;④旋转公式:复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,向量绕点Z1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量中的Z对应的复数z=z1+r(z2-z1)(cosθ+isinθ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z1,z2对应的点分别为Z,Z1,Z2,点Z分有向线段的比为λ(λ≠-1),则z=;②三点共线:若复数z,z1,z2对应的点分别为Z,Z1,Z2,则三点Z,Z1,Z2共线的充要条件是:Z=λZ1+(1-λ)Z2;③平行条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则Z1Z2∥Z3Z4的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4);④
44、垂直条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则Z1Z2⊥Z3Z4的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4)i.2Y.P.M数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3的面积=×复数(z1+z2+z3)的虚部;②三角形形状:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3为正三角形的充要条件是:z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1;或z1+ωz2+ω2z3=0;③三角形相似:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数w1,w2,w
45、3对应的点分别为W1,W2,W3,则△Z1Z2Z3∽△W1W2W3的充要条件是:=;④四点共圆:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆的充要条件是::∈R.二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为.[解析]:[类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数,则实数m
