48、复数中的方程问题

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1、三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题．3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，的根的应用．【教学过程】一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程（，，且），判别式△．（1）当△时，方程有两个不相等的实数根：，．（2）当△时，方程有两个相等的实数根：．（3）当△时，方程有两个共轭虚根：，．2．代数式（，）的因式分解利用，有3．复系数一元二次方程根与系数的关系设方程（

2、，，且）的两个根为，，则．4．方程的根方程有三个根，，，．若记，则有性质：（，），，．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式．（1）；（2）．【解答】解：（1）．（2）．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若是实系数方程的根，求实数与；（2）若是方程的根，求实数与．【解答】解；（1）由题意，是方程的另一根，则，所以，．（2）将代入方程得，整理得，，所以，解得．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知，求的值．（2）若，求的值．【解答】解：（1）由，得，所以，所

3、以．（2）由，得，当时，则（），，，，所以．同理可得，当时，也有．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．【解答】证明：原方程化简为，设（，），代入上述方程，得，所以，消去，整理得，此方程的判断式△，故无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于的二次方程有虚根，且此根的三次方是实数，求实数的值．【解答】解法一：设方程的虚根为（，且），由为实数，得，所以方程的虚根为，由根与系数的关系，得，消去，得，，解得或．解法二：设方程的虚根为，则

4、另一虚根为，因为，所以，，，因为，所以，即，由根与系数的关系，，，解得或．三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若是方程（，）的一个根，则_________．【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知，是实系数一元二次方程的两根，则_________，____________．【解答】答案：，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若是方程的一个虚根，则___________．【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：（为虚数单位）

5、．【解答】解：原方程化简为，设（，），代入上述方程，得，所以，解得，所以，原方程的解为或．四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问

6、题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）____________________．（2）_________________________．【解答】答案：（1）（2）【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程（，）的一个虚根是，则实数__________，_________．【解答】答案：，【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数的平方根为______________．【解答】答案：，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】

7、已知方程（）有实根，且，求．【解答】解：．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程中的解是（）A．B．C．D．【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数满足不等式，试判断方程有无实数根，并给出证明．【解答】解；由已知，所以，所以方程的判别式△，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程．【解答】解：把原方程化为，，解得，，．【属性】高三，复数，复数中的