严亦慈数学自主招生复数讲义.pdf

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1、名校自主招生教材复数复数№1复数的几种表达方式一．复数的代数形式：zabi我们知道，任何一个复数，均由它的实部和虚部两部分构成，于是对于复数域内的任何一个复数z，我们通常把它记做：zabi，其中a,bR。我们把复数z的实部和虚部分别记做Re(z)和Im(z)，对于上式中的zabi，我们有Re(z)a,Im(z)b这种表示方法是唯一的，我们把它叫做复数的代数形式。这是最常用的表示方法。在利用复数代数形式解题时，尤其是在进行模运算时，希望大家不要一股脑将代数__2形式带入，利用模运算公式：zzz往往能够简化运

2、算量。z1例：(2006年千分考）设z,z是一对共轭复数，如果zz6，且为实数，那12122z2么zz__________.12A.2B.2C.3D.6__批注[ylf1]:一个数a是实数当且仅zzz____解：通过1为实数可得：11，结合已知条件的zz，zz可得：___22___1221当aa，这个结论非常重要，往z2z22z2往能简化运算z1z23322，于是zz，即：(zz)(zzzz)0，又zz，故可得：221212112212zz2122zzzz0①1122______批注[ylf

3、2]:这里就运用了另一方面，又已知可得：(zz)(zz)6,结合zz，并将括号展开后121212__2zzz的公式22得到：2zz6zz②.12122将①和②联立后既得:zz2，即z2，故zz2.12112习题1：2222221.设a,b,c都是复数，给出下面两个命题：①如果abc,则abc0，222222②如果abc0，则abc，则（）A.①正确，②也正确B.①正确，②不正确1名校自主招生教材复数C.①不正确，②正确D.①不正确，②也不正确【答案】B【解析】标签：复数此题考察的是

4、复数的概念，即当且仅当a，b为实数时才能比较a，b的大小。222222222【详解】由abc知：ab和c均为实数，所以abc0，①成222222立而abc0并不能推出ab和c均为实数，比如说：222a1,bc2i就是其反例，从而②错误，选B二．复数的三角形式：zrcosirsin我们知道，任意一个复数，对应复平面上的一个点，如图所示，在图中：复数zabi(a,bR)表示的复平面上的点A在复平面中的坐标表示为(a,b).现设OAr(r0)，则我们可以用OA与x轴正方向的夹角，以及r

5、来表示A点的坐标，其与直角坐标系中的坐标关系为：arcos,brsin于是我们可以将复数z表示为zrcosirsin.22在上图中，容易由勾股定理得：rab，我们发现实际上，r即为该复数的模长，我们称上图中，A点与x轴正方向的夹角为复数z的辅角。事实上，同一个复数的辅角并不唯一，它们可能相差2的整数倍，我们称在区间[0,2)之间的那个辅角为主辅角，通常记为argz，一个复数的主辅角是唯一的。我们考虑问题时，一般考虑主辅角会显得比较方便。i三．复数的指数形式：zre对于一个复数，若其三角形式为z

6、rcosirsin，则其可以写成指数形式izre，这实际上是Euler公式，其本质是Talyor展开，在这里不详细说明，有兴趣的同学只需记住这个公式即可.i例：求iiiiiii解：icosisine2，故ie2e2e222№2复数的三角形式我们为什么要讨论复数的三角形式，复数的三角形式有什么优越性呢？我们发现，当两个复数相加时，用复数三角形式是看不出有任何优势的，甚至可以说是繁琐的。但当我们将两个复数相乘时，复数三角形式有比较简单的形式，也使得其几何意义变得2

7、名校自主招生教材复数非常明显。一．复数三角形式相乘设zr(cosisin)，zcosisin，则：1111222zzrr(cosisin)(cosisin)rr[(coscossinsin)12121122121212(icossinicossin)]rr[cos()isin()]1221121212上式的几何意义非常明显：两个复数z、z相乘的几何意义是它们的积复数12zzz的为模长z为它们的模长之积，即zzz，积复数z的辅角为它们辅角1

8、212的和，即：12例：（2011年千分考）将复数zcos75isin75所对应的向量顺时针旋转15，所得向量所对应的复数是__________.31311313A.iB.iC.iD.i22222222解：这个复数的辅角为75，顺时针