4、,再把它的模变为原来的丄倍，所得的向量即表示商2.pIII.复数的运算法则加、减法:(a+hi)±(c+di)=(ci±c)+(b±d)i;乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bel)+(he+ad)i人(cos&]+jsin0J•厂2(cos2+isin02)=rlr2[cos(3l+%)+isin(q+02)];除法:a+biac+bclbe-ad.z“、[cos
5、©-&2)+jsin©-&2)]・人(cosQ+isin0})_tr2(cos&2+isin02)r2乘方:[厂(cos。+isin。)]"=rn(cosnd+isinn0)(ngN)；开方：复数r(cos〃+isin〃)的〃次方根是听伽牡如+isin牡如)伙=0,1,…,"-1).nnIV・复数的模与共轨复数复数的模的性质①
6、诈
7、Re⑵1,1Im⑵I;②
8、知・5
9、=
10、$卜山2
11、・・TsI；④
12、
13、石丨-匕卜匕+叨,与复数石、乞对应的向量O乙、OZ?反向时取等号;⑤
14、°+5+•••+s
15、<
16、z｛丨+丨乞I+•••+1s
17、,与复数Zi，Z2，・・・，s对应的向量西，豆…，抵同时取等号.共辘复
18、数的性质①z-z=z2=z2；②z+z=2Re(z),Z-Z=2Im⑵；③z=z①Zj±z2②Zi；③(2)』6工0);55④z是实数的充要条件是z=Z,Z是纯虚的充要条件是Z=-z(z工0).V.复数解题的常用方法与思想(1)两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等(辐介相差2兀的整数倍).利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.(2)复数的模也是将复数问题实数化的有效方法Z-—.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程.如01：
19、Z-Z0
20、=r；线段中垂线
21、:iz-z.hz-zj；椭圆:
22、Z-ZJ+
23、Z-Z2
24、=2a(2a>
25、Z,-Z21)；双曲线:\Z^Zl-Z-Z2\=2a(2a<
26、Z(-Z21).论:(1985,联赛)设Z、W、几为复数,
27、A
28、#1,关于Z的方程Z-AZ=W有下面四个结III.需是这个方程的解;这个方程有两解;II.IV.这个方程只有一解;这个方程有无穷多解.则()解:只有I、II正确只有I、IV正确原式两端取共轨:B.D.只有I、Ill正确以上A、B、C都不正确Z-AZ=W,乘以2再取共轨：AZ-
29、A
30、2Z=AW,相加,由恥I,得方程有唯-解豪涪.选久（1986,联赛）设x为复数,M=｛z
31、（z-l）2=
32、z-
33、l
34、2｝,那么（）A.M=｛纯虚数｝B.耐二｛实数｝数｝解：选B.C.｛实数瘁M软复数｝D.M=｛复即（Z-1）2-（Z-1）（Z-1）=0,=>（Z-1）（Z-Z）=0,=>2=1或2=2，即Z为实数.(1987,联赛)如图，口眈和厶ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固泄AABC,而将AADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M,使ADWD为等腰直旳三旳形.证明：以A为原点，AC为兀轴正方向建立复平面・设C表示复数c,点E表示复数e(c.eeR)・则点B表示复数b=—+—ci,点Q表示复数d=-e-—ei.2222把ADE绕点A旋转角&得到M
35、D£7,则点E表示复数e=e(cos0十isinB)・点D表示复数d-d^cosO+isinOY表示EC屮点M的复数加=丄(c+e')・/.表示向量祈的复数：+扣+小*+*讨冷心如诚)-—ecosO+—（c-esinO）i,表示向量MD的复数:/S-d-m--（—e-—ei）^cosO+isin。）-—c-—e（cos&+isin0）=丄（wsin0—c）一丄decos0.显然：Z2=zJ・于是
36、MB冃MD
37、,且ZBMD
