自主招生与数学竞赛中的不等式问题（下）.pdf

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1、"-F马三知(接上期)所以厂(m)：一2(一1)z+1一且t四、确定参数的值或取值范围厂()．二一2(n一1)z+1一．所以／Tt，n是方程f()一一2(z一1)+例9(2007上海交大自主招生)设不1一imm+~，方程即(z一1)(2zz一2z一等式z(z一1)≤(1-y)与。+≤是的解集分别为M和N．若MCN，则k的最小值1)一。为解方程，得解为1，2，．解z(z一1)≤(1一)==>z+。～z—≤0，因为0<<，所以m=1，n—．故不等式m(：v-1)≤Y(1一)的解集的说明二次函数是考试中出现频率很图形为圆(z一

2、)。+(一号)。≤丢及其内高的内容．单调函数在区间上的取值范围只要考察端点值即可．部，圆心(专，专)，半径r一譬．例11(2009江苏省初赛)若不等式不等式z+。≤是(忌>0)的解集的图形√z+√≤是~／2+对于任意9-实数，Y成为圆及其内部，圆心(o，0)，半径一VZ．立，求k的取值范围．≥√(0一丢)。+(0一专)+一解显然忌>。，故忌≥．志≥2．所求最小值为2．但2x+y一一说明在解相关填空题时，利用图形可l2x+l'以较方便地找到答案．x+y+2％／2xy≤xq-y+y———．～干——干2z+2z+例10(200

3、8江苏省初赛)已知函数3_厂()一一2x。+bx+f在z：1时有最大值2’1，O0时等号成立)．解由题知-厂()一-2(一1)z+1．当点<时，取z一1，一1，有+因_厂(z)≤1，故≤1，即m≥1，从而m一号，而尼一忌<×一号．即_厂()在[，n]上单调递减．不等由常常用分离参数的方法，把参数所满足的方则f(，z)一f(+1)一程或不等式解出来．题中，解出k≥丁T(++．．

4、．．)一(+．．．+么主十V，故若能求出害-z主1_V的最大一值M，则只要尼。≥M，就能使原不等式对任2+l+。2+2+。2+3z)／意实数z，成立·一；1I一一—一—一—一一—一一2+22n+32+2例12(2006江苏省初赛)设集合A一＼』f>0，即厂()单调递减．Ilog+(3≥一2}，B一≥}，且所以对一切正整数，厂()≤厂(1)一1若AnB≠，求实数a的取值范围．+÷a>2。07—数1+1+1分析分别化简两个集合，再根据n的且可能取值分类讨论．01一2008丢．1≠6解由log(3一一)≥

5、一2j0<3一z≤所以口的最小值为2009．．J_614==>一1≤x<3==>A==[一1，3)；≠五、证明不等式求征例14(2009江苏省复赛)设a，b是正①当a>0时，解为aB—i3n，a)分析由于n，b对称分离，所以可以分若AnB≠，则当a<0时，有a>一1离变量，只要证明aS-l_5L．==>一10时，有a<3==>0

6、U(0，3)．证明先证当日>0时，as-1夕百5(n+例13(2009全国高中数学联赛一试)1)使不等式+1+⋯+15(口+1)·1_1咒-1一下上(+。+n+1)．(因式分解：a一1一(口一1)·2oo7÷对一切正整数”都成立的最小正整(n一1+口”一。4-⋯4"a+1))数口的值为．1lliiE8(口4"a。4．a+n+1)一5(口+n。——+口+以)一5(以。4-n+a+1)分析左式随z的增大，分式的个数增一3a一2a。一2a一2a一．3多，每个分式的值在减小，故可以考察和式一(

7、口一1)(3a+4a4-3)>0．1一<<+证l踢}不妨设口≤。4a。，b4b4b。，又因口，6为正数，故-詈_(口+1)>0，令-厂(z)一(z—Ct1)(z—a2)(z—a3)+8(6+1)>O．一x。一(n1+a2+a3)z。+(a1a2+a2a3+a3口1)X—a1a2a3，所以a5-1南+·>麓(n-k1)(bq-1)．g(z)一(z—b1)(z—b2)(z—b3)一z。+一(61+b2+b3)z+(61b2+b2b3+b3b1)z—例15(2003复旦大学自主招生)n，b1b2b3，贝0g(z)一_厂(z)一

8、a1n2口3一b1b2b3．证：()。+()+()+⋯+()<2．记一口1a2a3一b1b2b3，则g(z)一-厂(Iz)一．证明不妨设1≤n1<口2