《无穷小与无穷》PPT课件

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1、第一章（二）、无穷大（三）、无穷小与无穷大的关系（一）、无穷小第二节机动目录上页下页返回结束三、无穷小与无穷大1当（一）、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小.时为无穷小.机动目录上页下页返回结束2说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.若(或)则时的无穷小.机动目录上页下页返回结束3其中为时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回

2、结束4（二）、无穷大定义2.若任给M>0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在机动目录上页下页返回结束5注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束6（三）、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束7

3、（四）、极限的运算法则都存在，则时极限也存在，且特别有.在定理3.若极限机动目录上页下页返回结束8求极限方法举例例1解9解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例210解例3(消去零因子法)11例4解12小结:13小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷大之比求极限法;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.14思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？15思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极

4、限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．16第一章都是无穷小,第二节引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.机动目录上页下页返回结束四、无穷小的比较17定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作机动目录上页下页返回结束18例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且机动目录上页下页返回结束19例5.证明:当时,～证:～机动目录上页下页返回结束20～～定理1.

5、证:即即例如,～～故机动目录上页下页返回结束21定理2.设且存在,则证:例如,机动目录上页下页返回结束22例6.求解:机动目录上页下页返回结束23常用的等价无穷小，当机动目录上页下页返回结束24时，当时第一章一、极限存在定理第三节机动目录上页下页返回结束极限存在定理与两个重要极限二、两个重要极限25（一）、夹逼定理如果对于证:当时，有,又因故必存在正数时,有取于是故机动目录上页下页返回结束的某个领域内的一切则，当则当26例7.证明证:利用夹逼准则.且由机动目录上页下页返回结束26（二）.单调有界数列必有极限(准则2)(

6、证明略)机动目录上页下页返回结束27准则21.单调增有上界数列必有极限。2.单调减有下界数列必有极限。第五节目录上页下页返回结束35二、两个重要极限重要极限1其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sinx=BD，tanx=AC，BODACx当时首先证明不等式28当时有即当时BODACx而当时有,从而即当时有这就证明了不等式.29从而有由夹逼准则，即得再由夹逼准则，即得30例8解1coslim0此题中用到xx=®例9解例10解31这是重要极限2常用的另一种形式.重要极限2

7、例11解令,则当时,,因此32例12解例13解33重要极限2证明：证明：34内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系4、无穷小的比较作业P23、9、（8）（10）（14）(18);第五节目录上页下页返回结束5、两个重要极限35小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.：：36一、填空题:练习题一37二、求下列各极限:38练习题答案39练习解先变形再求极限.40练习解41练习解左右极限存在且相等,42一、填空题:练习题二43二、求下列各极限:444、45练习题二答案

8、：一、1、-5；2、3；3、2；4、1/5;5、0；6、0；7、1/2;二、1、2；2、2x；3、-1；4、0；