固体物理第四章能带论

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1、第四章能带理论前面讨论了固体直接与离子实有关的问题，例如晶体结构，结合能，振动等，但固体中许多现象与性质主要与电子有关。本章的主要内容就是用量子力学解释(能带论)与电子运动规律相关的问题。本章的内容及要求：（1）熟练掌握自由电子模型和紧束缚近似的方法；（2）基本掌握布洛赫定理，周期性边界条件；（3）基本掌握一、二、三维的态密度、能态密度，费米面的计算；（4）了解一维周期场中电子运动的近自由电子近似方法、能隙的计算；（5）了解束缚近似——原子轨道线性组合法的近似方法、能带的计算。3、能带论提供了分析半

2、导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展1、能带理论的研究是从金属理论发展来的，把电子气当作自由气体，它能解决欧姆定律问题。2、第一次说明了固体为什么有导体、半导体和绝缘体之分能带论——用单电子近似来研究晶体中电子能量状态的理论，它是研究电子运动的主要理论基础能带论只是一个近似理论，它的假设前提是：1、绝热近似把离子实与价电子分开讨论，离子实的运动相对于电子运动可以忽略或固定不动，离子实给电子提供一个固定的周期性势场。2、单电子近似假定每个电子运动都是独立的，把多电子问题看成单电子问题。共有化电子

3、的运动状态——假定离子实处在其平衡位置，把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，把离子实偏离平衡位置的影响看成微扰。理想晶体——晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性能带论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别原子，而是在整个固体内运动（越过势垒，任意运动）。___共有化运动能带论的核心问题是求解一个在周期势场中的单电子问题，基本方程：波动方程晶格周期性势场§4.1布洛赫定理和布洛赫波——方程的解具有以下性质——布洛赫定理为一矢量—当平移晶格矢量波函数只增加了位相因子布洛赫定理——势场

4、具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程当波函数具有如下形式：——晶格周期性函数——布洛赫函数满足布洛赫定理：近（准）自由电子模型若电子的能量超过势垒，则电子可以相当自由的在整个固体内运动，近似于自由电子的运动，该模型称为准自由电子近似。我们采用量子力学的微扰理论，即以自由电子的波函数作为零级近似的波函数，而把周期场作为微扰。§4.2一维周期场中电子运动的近自由电子近似1.模型和微扰计算近自由电子近似模型—金属中电子受到原子实周期性势场的作用—假定势场的起伏较小零级近似：周期性势场的起伏量作

5、为微扰来处理1）零级近似下电子的能量和波函数——空格子中电子的能量和波函数一维N个原子组成的金属，金属的线度零级近似下薛定谔方程波函数和能量本征值波函数满足正交归一化——l为整数2）微扰下电子的能量本征值哈密顿量满足周期边界条件根据微扰理论，电子的能量本征值一级能量修正二级能量修正——按原胞划分写成——引入积分变量——利用势场函数的周期性i)ii)将和代入——周期场V(x)的第n个傅里叶系数二级能量修正式计入微扰后电子的能量3）微扰下电子的波函数电子的波函数波函数的一级修正计入微扰电子的波函数令可

6、以证明电子波函数——具有布洛赫函数形式电子波函数的意义电子波函数和散射波—波矢为k的前进的平面波—平面波受到周期性势场作用产生的散射波散射波的波矢相关散射波成份的振幅当相邻原子的散射波有相同的位相,即分母为0时：散射波散射波成份的振幅波函数一级修正项——微扰法不再适用了电子能量的意义二级能量修正当——电子的能量是发散的—k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的4）电子波矢在附近的能量和波函数简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成状态——是一个小量周期性势场中，对其有主要影响的

7、状态——只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响状态对状态的影响简并波函数薛定谔方程考虑到得到分别以或从左边乘方程，对x积分利用线性代数方程a,b有非零解波函数满足正交归一化i)波矢k离较远，k状态的能量和状态k’差别较大将按泰勒级数展开能量本征值——k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高原来能级较低的k下降了——量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了——能级间“排斥作用”ii)波矢k非常接近，k状态的能量和k’能量差别很小将按泰勒级数展

8、开结果分析i)两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态，能量提高；原来能量低的状态能量降低两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-ii)当0时——>0,<0两种情形下完全对称的能级图——A和C、B和D代表同一状态，因为它们从>0,<0两个方向当0的共同极限2.能带和带隙（禁带）——零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线——微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与