固体物理阎守胜三章能带论课件.ppt

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1、第三章能带论1电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势场的作用。能带论的基本出发点:固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，所以这种理论称为能带论。在体积为V=L3且带有N个离子实和NZ个价电子的体系中，若电子和离子实的位置矢量分别用和来表示，那么体系的哈密顿量为：NZ个电子的动能电子间的库仑相互作用能N个离子实的动能离子实间的库仑相互作用能电子和离子实间的库仑相互作用

2、能Born－Oppenheimer近似(绝热近似)：所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了离子实的动能和离子实间的库仑相互作用能。三个基本假设：平均场近似：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，用平均场代替电子与电子间的相互作用。对于一个NZ+N的多体问题，无法直接求解。需要做些假设和近似。周期势场近似：不管单电子势的具体形式如何，假定它具有和晶格同样的平移对称性。即对所有属于BLV的有故单电子薛定谔方程为：其中周期势使单电子薛定谔方程的本征函数取布洛赫波的形式。即布洛赫（Bloch）定理平面波周期性调制信号在晶格周期性势场中运动的

3、电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。自由电子：孤立原子：在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有的形式。周期函数反映了电子与晶格相互作用的强弱。Bloch函数中，行进波因子描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子的能量取分立的能级；晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的能量取值就表现为由能量的允

4、带和禁带相间组成的能带结构。若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。电子能带的形成取决于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在着相互作用，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但需要指出的是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。布洛赫定理亦可表示为：其中为电子波矢，是BLV的格矢。遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波描述的电子称为布洛赫电子。说明周期势场中单电子在不同位置

5、的波函数间相差一个由决定的相位。布洛赫定理的证明(1)引入平移对称算符(2)说明:(3)(1)平移对称算符(2)可以是晶体中单电子哈密顿量具有晶格周期性。平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。在直角坐标系中：根据平移特点(3)由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数是的本征函数，那么也一定是算符的本征函数。设对应的本征值为，则有可得到即由周期性边界条件设晶体在方向各有个原胞。根据上式可得到同理可得：这样的本征值取下列形式式中为晶格三个倒格基矢，由于,则引入矢量布洛赫格矢可看成是在倒格子空间中，以为基矢的布拉维格子的格矢。一个波矢在波矢空间中对应的体积为：波矢空间中许可态的

6、态密度与自由电子情形相同。即波矢空间中一个波矢对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N。由于N是晶体的原胞数目，数目很大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积比是极其微小的，波矢点在倒格空间是很稠密的，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。将布洛赫波形式的解代入单电子薛定谔方程，得：对于中每个参数k，有无穷个分立的本征值。布洛赫电子的状态要由两个量子数n和k来标记。相应的能量和波函数写为。边条件为：因为晶体具有平移对称性，那么有将相应的布洛赫函数代入平移算符，则：两者有共同的本征函数，它们描写的是同一状态，即同理有：上式说明，对确定的n值，是k的周期函数，

7、只能在一定的范围内变化，有能量的上下限，从而构成一能带，不同的n代表不同的能带，量子数n称为带指标。的总体称为晶体的能带结构。由于和是等价的，可把k的取值限制在第一布里渊区内，将所有的能带绘于第1布里渊区内的方法常称为简约布里渊区图示。由于的周期性，也可允许k的取值遍及全k空间，这种图示方法称为周期布里渊区图示，而将不同的能带绘于k空间中不同的布里渊区中的方法称为扩展布里渊区图示。1.布里渊区定义在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(