固体物理-能带理论

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1、第四章能带理论能带理论——研究固体中电子运动的主要理论基础——定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点——晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距——说明了导体、非导体的区别——半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展能带理论——单电子近似的理论单电子近似——最早用于研究多电子原子——哈特里－福克自洽场方法能带理论的出发点——电子不再束缚于个别的原子而在整个固体内运动——共有化电子每个电子的运动——看成是独立的在一个等效势场中的运动共有化电子的运动状态理想晶体——晶格具有周期性，等效势场具有周

2、期性——电子在晶格周期性的等效势场中运动波动方程晶格周期性势场——假定原子实处在平衡位置把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理第一步简化——绝热近似离子实质量比电子大，运动慢离子固定在瞬时位置上第二步简化——利用哈特里一福克自治场方法——多电子问题简化为单电子问题——每个电子在离子势场和其它电子的平均场中运动一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理第三步简化——周期性势场所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问

3、题处理能量本征值的计算——选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合晶体中的电子的波函数按此函数集合展开——将电子的波函数代入薛定谔方程确定展开式中的系数应满足的久期方程求解久期方程得到能量本征值三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理电子波函数的计算——根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数得到具体的波函数——在不同的能带计算模型和方法中采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合能带理论的局限性一些过渡金属化合物晶体——价电子的迁移率小自由程与晶格常数相当__电子不为原子所共有周期场失

4、去意义__能带理论不适用了非晶态固体——非晶态固体和液态金属只有短程有序两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果电子与电子之间的作用——从多体问题的角度电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替——金属中的价电子系统__不能用电子气来描述了必须把价电子系统看成量子液体电子与晶格之间的作用——电子和晶格相互作用在离子晶体中电子的运动会引起周围晶格畸变电子带着这种畸变一起前进的——电子不再是在周期场中的运动04_01布洛赫定理——方程的解具有以下性质——布洛赫定理布洛赫定理——势场具有晶格周期

5、性时电子的波函数满足薛定谔方程——布洛赫定理为一矢量——当平移晶格矢量——波函数只增加了相位因子晶格周期性函数电子的波函数——布洛赫函数布洛赫定理的证明——引入平移算符证明平移算符与哈密顿算符对易两者具有相同的本征函数——利用周期性边界条件确定平移算符的本征值给出电子波函数的形式——势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量势场不变——在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符平移任意晶格矢量对应的平移算符作用于任意函数——平移算符作用于周期性势场平移算符的性质各平移算符之间对易对于任意

6、函数平移算符和哈密顿量对易对于任意函数和微分结果一样——平移算符的本征值T和H存在对易关系——具有共同本征函数——周期性边界条件对于对于对于——整数——引入矢量——倒格子基矢满足平移算符的本征值将作用于电子波函数平移算符的本征值——布洛赫定理电子的波函数满足布洛赫定理——晶格周期性函数——布洛赫函数平移算符本征值的物理意义1)——原胞之间电子波函数相位的变化2)平移算符本征值量子数——简约波矢——不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同3)简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符的本征值——布洛赫定理——

7、本征值相同为了使简约波矢的取值和平移算符的本征值一一对应简约波矢第一布里渊区体积——取值限制第一布里渊区简约波矢——在空间中第一布里渊区均匀分布的点每个代表点的体积状态密度简约布里渊区的波矢数目固体体积04_02一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型和微扰计算近自由电子近似模型——假定势场的起伏较小——金属中电子受到原子实周期性势场的作用零级近似——用势场平均值代替原子实产生的势场——周期性势场的起伏量可以作为微扰来处理零级近似下电子的能量和波函数——空格子中电子的能量和波函数金属的线度零级近

8、似下薛定谔方程波函数和能量本征值满足正交归一化——l为整数周期边界条件电子的波矢取值——能量微扰下电子的能量本征值哈密顿量量子力学微扰理论——电子的能量本征值一级能量修正能量本征值二级能量修正——按原胞划分积分————引入积分变量势场是晶格周期性函数1)2)——V(x)第n个傅里叶系数二级修正项——电子的能量本征值微扰下电子的波函数电子的波函数波函数的一级修正——计入微扰电子的波函数令可以证明电子波函数——具有布洛赫函数形式电子波函数的意义1)电子波函数和散射