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1、黄昆固体物理习题解答第四章能带理论π4.1，根据k=±状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数ψ及ψ?，并说明它−+−+a2*们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布ψ说明能隙的来源(假设V=V)。nnππ00＜解＞令k=+，k′=−，简并微扰波函数为ψ=+Aψψ()xBx()kkaa0*⎡⎤EkEAVB()−+=0⎣⎦n0VA+−⎡⎤Ek()′EB=0取EE=n⎣⎦+0带入上式，其中EEkV=+()+nV(x)<0,V<0,从上式得到B=-A,于是nnnππ00A⎡⎤ix−ix2Anπψ=−=−Axx⎡⎤ψψ()()⎢⎥eeaa=sinx+⎣⎦kk′L⎣⎦La0取EE
2、=，EEkV=−()VAVB=−=,得到AB−−nnnnnππ00A⎡⎤ix−ix2Anπψ=−=−Axx⎡⎤ψψ()()⎢⎥eeaa=cosx−⎣⎦kk′L⎣⎦La由教材可知，Ψ及Ψ均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度ν()k为零．产生+−nπ22πa驻波因为电子波矢k=时，电子波的波长λ==，恰好满足布拉格发射条件，这akn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。π4.2,写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k=的0级波函数。2ar22ππππ21*11ikxikximaax1ixim24aax1imx
3、()+＜解＞ψ()xee==e=⋅=eeekLLLLππ*1ix2第一能带：mmxe⋅==0,0,ψ()=ak2aL23πππ22ππixi*1ix2第二能带：bb=→⋅′′则即bbm,,=−m=−1（,eaa=e2a）∴=ψ(x)ekaaLπ25ππ22ππ*1ixix221ix第三能带：cc′→⋅=,,m即m=1,ψ(x)=eeaa⋅=eakaaLL解答（初稿）作者季正华-1-黄昆固体物理习题解答4.3电子在周期场中的势能．1222mbxnω⎡⎤⎣⎦−−()a,当nab−≤≤+xnab2Vx()=0，当(n-1)a+b≤x≤−nab其中d＝4b，ω是常数．试画出此势能曲线，求其
4、平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，Vx()是个以a为周期的周期函数，所以11aa1−bVx()===∫∫∫Vx()Vxdx()Vxdx()LLbaa−b题设a=4b，故积分上限应为abb−=3，但由于在[bb,3]区间内Vx()0=，故只需在[−bb,]区间内积分．这时，n=0，于是2211bbmmωω22⎡⎤2bb312VV==−()xdx(bx)dxb=−⎢⎥xxm=ωb。∫∫−−bbaa−−bb22a⎣⎦36（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数∞′mmππ212bbmπVxV(
5、)=+0∑VmmcosxV,=∫∫Vx()cosxdx=Vx()cosxdxm=−∞22bb002bb2b2mxωπb22第一个禁带宽度EVm==2,以1代入上式,E=−(bx)cosdxgg111bb∫022u2利用积分公式ucosmudu=+⎡⎤()musinmu2cosmu−sinmu得∫23⎣⎦mm216mω2E=b第二个禁带宽度EVm==2,以2代入上式,代入上式g1π3g2222mxωπb222mω2Eb=−()xcosdx再次利用积分公式有E=bg2bb∫0g2π24.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带解答（初稿）作者季正华-2-黄昆
6、固体物理习题解答vsE(k)函数解：面心立方晶格——s态原子能级相对应的能带函数vvvvEs(k)=ε−J−∑J(R)e−ki⋅Rss0sRs=Nearest——s原子态波函数具有球对称性vvvvvvv0*0JJR==()−−ϕξ(RUV)[()()ξ−ξϕξξ]()}d>01sis∫ivvvEks()=−−εJJ∑e−⋅ikRss01Rs=Nearest——任选取一个格点为原点——最近邻格点有12个12个最邻近格点的位置⎧aa⎧aa⎧aa,,0,0,,,0⎪⎪⎪222222⎪⎪⎪⎪aa⎪aa⎪aa,−,0,0,−,,0−⎪22⎪22⎪22⎨⎨⎨⎪−a,a,0⎪,0−a,a⎪−a,
7、,0a⎪22⎪22⎪22⎪⎪⎪aaaaaa⎪−,−,0⎪,0−,−⎪−,,0−⎩22⎩22⎩22vaavvvvvvR=++ij0kEks()=−−εJJ∑e−ikR⋅sss0122R=Nearestsvvvvvvaavva−⋅ikR−++⋅++ikikjkk()xyz(22ijk0)−+ikk2(xy)2ees==eb−4ac——类似的表示共有12项kakakakaxxyy=−(cosiisin)(cos−sin)2222——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的
