固体物理课件第四章：能带理论能带理论.ppt

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1、固体物理学第四章：能带理论研究方法：简谐振动，只考虑相近原子的相互作用研究晶格振动一维双原子链一维单原子链固体（晶体）中电子的运动固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论。假定在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电子，那么该系统的哈密

2、顿量为:哈密顿量中有5部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑相互作用能,第五项为电子与离子实之间的相互作用能。这是一个非常复杂的多体问题，不做简化处理根本不可能求解。首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为：体系的薛定谔方程：但这是一个量

3、级的多体问题。多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在一起，这样的系统仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场，即平均场近似：系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。单电子所受的势场为：无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性（周期场近似）：从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：Born－Oppenheimer绝热近似：Ha

4、tree－Fock平均场近似周期场近似(Periodicpotentialapproximation)：每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每个电子的运动都可以单独考虑。所以，能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分（允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成的能带，所以这种理论称为能带论。需要指出的是：在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周期性势场的引入也使问题

5、得以简化，从而使理论研究工作容易进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，在非晶固体中，电子同样有能带结构。电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同晶体中的周期势场形式和强弱也是不同的，需要针对具体问题

6、才能进行求解。Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数应具有的形式，给出了周期场中单电子状态的一般特征，这对于理解晶体中的电子，求解具体问题有着指导意义。当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之间。…….经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。——F.BlochWhenIstartedtothinkaboutit,Ifeltthatthemainproblemwast

7、oexplainhowtheelectronscouldsneakbyalltheionsinametal,…BystraightFourieranalysisIfoundtomydelightthatthewavedifferedfromtheplanewaveoffreeelectronsonlybyaperiodicmodulation.FelixBloch(1905-1983)1952NobelLaureateinPhysics一.Bloch定理考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地

8、静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型称为周期场模型。在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为其中，U(r)=U(r+Rl)为周期性势场，Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢，方程的解应具有下列形式：——Bloch函数这里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl为周期的周期函数。这个结果称为Bloch定理。它确定了波动方程解的基本特点。（Blochwavefunctio