能带理论 5 电子能带理论

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1、第五章电子能带理论掌握布洛赫波函数、平均速度、有效质量、区分导体、半导体和绝缘体；了解布拉格反射、各种近似方法。教学目的：§1布洛赫（Bloch）定理一．布洛赫定理如果将固体抽象为理想晶体，Kohn-Sham方程中的势，具有理想晶体同样的平移对称性，即如果表示将位矢变到的平移操作算符，就有这就表示，所有的与本征函数具有同样的本征能量如果是非简并的，即只有一个属于那么除了一个相因子外的本征值方程。可以写成应与相同：且的形式。再由有和可得是度简并的，即有个相互正交的本征函数如果属于那么作用于后得到的函数应为的线形组合，即平移群的每个算符通过上式用一个

2、矩阵表示。显然，这种矩阵是满足与相同的乘法规则的，即：也构成一个群，是平移群在以基的维表示形成的矩阵群。可用它们的线形组合产生一个新的等价的基。用新的基表示，上述矩阵成为对角形式：于是可得到相应地有也是一个描写本征函数的量子数。而同时也是哈密顿算符的本征函数，因此本征值也依赖于，即：上述定理用数学形式表示即为称为布洛赫函数，用它描写的晶格电子也称为布洛赫电子。重要推论1.晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。2.只需将k值限制在一个包括所有不等价k的区域求解薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。简正模式的色散关系有一个重要的性质：一维时

3、则当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个格波。二．第一布里渊区因为则当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个格波是同一个格波。当如上图∴k与k‘是同一列格波,是同一个简正模式在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点阵矢量的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的k总可以平移一个后用第一布里渊区中的k来等价描述，第一布里渊区以外

4、k只不过是第一布里渊区中的ｋ的重复和再现而已。每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原子的真实位移。在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫无实际意义的。它对晶体的物理性质（如热学性质等）并没有什么贡献，而有贡献的只是存在有那些简正模式。简单立方晶格的第一布里渊区体心立方晶格的第一布里渊区面心立方晶格的第一布里渊区简单六角结构的第一布里渊区§5布里渊区2维方格子的布里渊区二维正方晶格的布里渊区二维长方晶格的布里渊区二维六方晶格的十个布里渊区面心立方晶格的第一布里渊区面心立方

5、晶格的第一布里渊区主要对称轴：Δ：ΓX轴，四度旋转轴，波矢取值，0<δ<1；Λ：ΓL轴，三度旋转轴，波矢取值，0<<1/2；Σ：ΓK轴，二度旋转轴，波矢取值，0<<3/4。体心立方晶格的第一布里渊区体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a，则倒格子为边长等于4π/a的面心立方。主要的对称点：Γ：；H：；P：；N：§6紧束缚方法紧束缚方法(tight-binding，TB)第一次由Bloch在1929年提出，其中心思想就是用原子轨道的线性组合(LCAO)来作

6、为一组基函数，由此而求解固体的薛定谔方程。这个方法是基于这样的物理图像，即认为固体中的电子态与其组成的自由原子差别不大。紧束缚方法在绝缘体的能带结构研究中是很成功的。由于原子轨道处于不同的格点上，由它们组成的基函数一般是非正交的。因此必然会遇到多中心积分的计算问题，而且本征方程形式也不简便。考虑固体中单电子的薛定谔方程：式中哈密顿量的第一项是电子的动能，第二项是晶体势场；是第n个能带且具有动量k的能级；晶体势场可以表述为原子势场这里是晶格矢量，是第l个原胞中第a个原子的位矢。的线性叠加，即描述固体中电子的波函数。波函数可用LCAO的基矢来展开第l

7、个原胞中第a个原子的第j个轨道，N是单位体积的晶格数目。由原子轨道线性组合：这里的布洛赫函数式中一般是非正交的。是线性组合参数，由解本征问题而得到。定义上式则可简化成这里为哈密顿量的矩阵元，为原子轨道交叠积分。§7正交化平面波赝势和芯态的波函数，满足：和如果用和分别表示晶体哈密顿算符H的精确的价态是真正的晶体芯态波函数。正交化平面波中的平面波现被取代。用类似正交化平面波方法构造晶体价态波函数作，可得系数现将作用于上，有就有将哈密顿算符写成就是赝势，上式就是赝波函数满足的方程。如果令则形式上就给出赝势是核的库仑吸引势V加上一个短程的、非厄米的排斥势

8、，两项之和使总的势减弱，变得比较平坦。对这样的赝系统，用平面波展开赝波函数可以很快收敛。值得指出的是，虽然是赝波函数，但由此得到的能量并