固体物理总结能带理论完全版

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1、24目录一、本章难易及掌握要求……………………………………1二、基本内容…………………………………………………11、三种近似………………………………………………12、周期场中的布洛赫定理………………………………21)定理的两种描述………………………………22)证明过程:……………………………………23)波矢k的取值及其物理意义…………………33、近自由电子近似……………………………………3A、非简并情况下…………………………………4B、简并情况下……………………………………5C、能带的性质………………

2、……………………64、紧束缚近似……………………………………………65、赝势……………………………………………………96、三种方法的比较………………………………………107、布里渊区与能带………………………………………118、能态密度及费米面……………………………………11三、常见习题………………………………………………14简答题部分………………………………………………14计算题部分…………………………………………………1524一、本章难易及掌握要求要求重点掌握:1)理解能带理论的基本假设和出发点;2

3、)布洛赫定理的描述及证明;3)一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论,明白三维近自由电子近似的思想;4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算;5)明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用;6)会计算能态密度及明白费米面的概念。本章难点:1)对能带理论的思想理解,以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体,导体,半导体;2)对三种模型的证明推导。了解内容:1)能带的成因及对称性;2)费米面的构造;3)赝势方法;4)旺尼尔函数概念;5)波函数的对称性。二、基本内容1、三种近似24在

4、模型中它用到已经下假设:1)绝热近似:由于电子质量远小于离子质量,电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子,可认为离子不动,或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。2)平均场近似:在上述多电子系统中,可把多电子中的每一个电子,看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动,这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。3)周期场近似:假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场,其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。2、周期场中的布洛赫定理1)定理的两种

5、描述当晶体势场具有晶格周期性时,电子波动方程的解具有以下性质:形式一:,亦称布洛赫定理,反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二:,亦称布洛赫函数,反映了周期场的波函数可用受调制的平面波表示.其中,取布拉菲格子的所有格矢成立。2)证明过程:a.定义平移算符,b.证明与的对易性。c.代入周期边界条件,求出在与共同本征态下的本征值24。即d.将代入的本征方程中,注意定义,可得布洛赫定理。!3)波矢k的取值及其物理意义……,k是第一布里渊区的波失,称简约波矢。其是平移算符本征值量子数,而反映了原胞之间电子波函

6、数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场,那么可以把其波函数设为布洛赫函数。3、近自由电子近似1)思想:假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰2)条件要求:原子的动能大于势能以使电子可以自由运动,势函数的的起伏很小,以满足微扰论适用,外层电子以满足电子可以自由运动。3)模型建立过程:首先,在零级近似下,考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值,推出了能量的准连续性;其次,由于考虑到二级微扰,而推出能量在布区边界处分裂,且发生了能级间的“排斥作用”,于是形成能带和带隙。24A、非简并情

7、况下1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程:,,微扰项:,满足的方程式:.2)利用微扰论方法有设:,其中:,,()设:其中:,()4)结论:能量本征值:波函数:5)波函数的意义:第一项是波矢为k的前进的平面波,第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波再令,则有24具有布洛赫函数形式,其中用到B、简并情况下1)此时波矢k离较远,k状态的能量和状态k’差别较大把3*按泰勒级数展开得由于能级间“排斥作用”,量子力学中微扰作用下,两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了,原来较低的能量降低了

8、2)时,波矢k非常接近,k状态的能量和k’能量差别很小按将3*式泰勒级数展开得代入相应的,得可得如下结论两个相互影响的状态k和k’微扰后,能量变为E+和E-,原来能量高的状态能量提高,原来能量低的状态能量降低。周期性[周期为倒格矢,由晶格平移对称性决定]反演对称性[是个偶函数]宏观对称性[为晶体的一个点群对称操作]24C、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区,要标志一个状态需要表明:1)它属于哪一个能带(能带标号)2)它的简约波矢是什么?3)能带

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