固体物理总结能带理论完全版

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1、24目录一、本章难易及掌握要求……………………………………1二、基本内容…………………………………………………11、三种近似………………………………………………12、周期场中的布洛赫定理………………………………21）定理的两种描述………………………………22）证明过程：……………………………………23）波矢k的取值及其物理意义…………………33、近自由电子近似……………………………………3A、非简并情况下…………………………………4B、简并情况下……………………………………5C、能带的性质………………

2、……………………64、紧束缚近似……………………………………………65、赝势……………………………………………………96、三种方法的比较………………………………………107、布里渊区与能带………………………………………118、能态密度及费米面……………………………………11三、常见习题………………………………………………14简答题部分………………………………………………14计算题部分…………………………………………………1524一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2

3、）布洛赫定理的描述及证明；3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度及明白费米面的概念。本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导。了解内容：1）能带的成因及对称性；2）费米面的构造；3）赝势方法；4）旺尼尔函数概念；5）波函数的对称性。二、基本内容1、三种近似24在

4、模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种

5、描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受调制的平面波表示.其中，取布拉菲格子的所有格矢成立。2）证明过程：a.定义平移算符，b．证明与的对易性。c.代入周期边界条件，求出在与共同本征态下的本征值24。即d.将代入的本征方程中，注意定义，可得布洛赫定理。！3）波矢k的取值及其物理意义……，k是第一布里渊区的波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而反映了原胞之间电子波函

6、数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。3、近自由电子近似1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。3）模型建立过程：首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。24A、非简并情

7、况下1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：，，微扰项：，满足的方程式:.2)利用微扰论方法有设：，其中：，，（）设：其中：,（）4）结论：能量本征值：波函数：5）波函数的意义：第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波再令，则有24具有布洛赫函数形式，其中用到B、简并情况下1)此时波矢k离较远，k状态的能量和状态k’差别较大把3*按泰勒级数展开得由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了

8、2）时，波矢k非常接近，k状态的能量和k’能量差别很小按将3*式泰勒级数展开得代入相应的，得可得如下结论两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。周期性[周期为倒格矢，由晶格平移对称性决定]反演对称性[是个偶函数]宏观对称性[为晶体的一个点群对称操作]24C、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)它属于哪一个能带（能带标号）2)它的简约波矢是什么？3)能带