固体物理学能带理论小结

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1、能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度。本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导。了解内容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似

2、11：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式

3、一：，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受调制的平面波表示.其中，取布拉维格子的所有格矢成立。2）证明过程：a.定义平移算符，b．证明与的对易性。c.代入周期边界条件，求出在与共同本征态下的本征值。即d.将代入的本征方程中，注意定义，可得布洛赫定理。11！3）波矢k的取值及其物理意义……，k是第一布里渊区的波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而反映了元胞之间电子波函数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。3、近自由电子近

4、似1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。3）模型建立过程：首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。A、非简并情况下1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：，，11微扰项：，满足的方程式:.2)利用微扰论方法有设：，其中：，，（）设：其中

5、：,（）4）结论：能量本征值：波函数：5）波函数的意义：第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波再令，则有具有布洛赫函数形式，其中用到B、简并情况下1)此时波矢k离较远，k状态的能量和状态k’11差别较大得由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了2）时，波矢k非常接近，k状态的能量和k’能量差别很小得代入相应的，得可得如下结论两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。

6、周期性[周期为倒格矢，由晶格平移对称性决定]反演对称性[是个偶函数]宏观对称性[为晶体的一个点群对称操作]C、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)它属于哪一个能带（能带标号）112)它的简约波矢是什么？3)能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲2)禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处3)禁带的宽度4）各能带之间是禁带,在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级5）计入自旋，每个能带中包含2N个量子态4、紧束缚近似1）紧束缚近似的假设：电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。故

7、此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求原子之间的距离较大。2）模型实现对于简单格子电子在格矢处原子附近运动满足的薛定谔方程：是晶体的周期性势场___所有原子的势场之和。对方程进行变换有即是微扰作用。11设晶体中电子的波函数（此法的本质），代入上得：考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的重叠很有，用左乘上面方程5*，得到则得，考虑到周期性的势场，应有，（是任意常数矢量），则有，利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数考虑用简约波失表示有，由此可得对于确定，，而且实现

8、了N个晶体中的电子波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：3）模型简化：考虑的化简：当有重叠时，积分不为0。a最完全的重叠，得11b其次考虑近邻格点的格矢，得。6*能带底部电子的有效质量,能带顶部电子的有效质量.4）能级与能