1.3-1.5共轭元正规子群

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1、§1.3共轭元与类共轭元若群G中存在一个元X，使群中的元A、B满足B=XAX-1（1.3-1）那么，群元B与群元A共轭．若B共轭于A，则A亦共轭于B，因为A=X-1B(X-1)-1=YBY-1（1.3-2）其中Y＝X-1，是群G中的一个元，所以，A与B是互为共轭的.共轭具有传递性．若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭.因为如果存在群元X及Y满足B=XAX-1及C=YBY-1（1.3-3）则C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1（1.3-4）YX是群中的一个元，所以，A与C共轭．对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似

2、.2.类定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作类．即，群G中的任何一个类C都满足（1.3-5）例如，包含群元A的类，就由群中的每一个元X与A作乘积XAX-1形成，A本身就是这个类的一个元，因为A=EAE-1.D3群中，E自成一类，D、F属一类，因为：EDE-1=DADA-1=BA=FBDB-1=CB=FCDC-1=AC=FDDD-1=FD-1=DFDF-1=ED=DA、B、C属一类.C3V群分成几类？类的简单性质(l)单位元自成一类．(2)群中没有任何一个元是属于两个不同的类的，即不同的类中没有共同的元．(3)除单位元这一类外，其余各类都不

3、是子群，因为这些类中不包含单位元．(4)交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切X∈G都有XAX-1=XX-1A=A,A∈G(5)对于矩阵群，同一类中的各元互为相似矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵迹．(6)同类的元素有相同的阶．即：如群中有一元A，其阶为a，则Aa=E，那么与A同类的任意元XAX-1亦具有相同的阶a。证明:(XAX-1)a=(XAX-1)(XAX-1)…(XAX-1)=XAaX-1=XEX-1=E所以，A与XAX-1有相同的阶．(7)对于含转动操作的群,转角相同而转轴可由群中的元

4、转成一致的，属同一类．例如在D3群中，A、B、C同属一类，因为DCD-1=AFBF-1=A也可以这样来考虑：A、B、C为转角相同而转轴不同的操作，但C轴可通过操作D转成A轴，B轴可通过操作F转成A轴，故A、B、C同属一类．同样，D、F同属一类，因为D、F转角相同，且用A、B、C之中任一操作都可使D、F两操作的转轴转成一致．(8)若C是群G的一个类，且C={C1,C2，…，Cm}，C’是C中所有元的逆的集合，即C’={C1-1,C2-1，…，Cm-1}．那么，C’也是群G的一个类，称作C的逆类．证明：己知XCX-1=C对任一X∈G成立，那么X

5、C’X-1=(XCX-1)-1=C-1=C’对任一X∈G成立.所以，C’是群G的类.(9)互逆类乘积的集合中一定有单位元出现，且出现的次数等于类的群元数hc（有时称hc为类的阶）有关类的定理定理一若η为由群中若干完整的类构成的集合，即X是群G中的任意元，则XηX-1=η成立.证明：已知XCkX-1=Ck;所以逆定理：任何一个服从关系成立的集合η，必由若干完整的类构成．证明：首先将η中的完整的类抽出，余下的元的集合是ξ.于是XξX-1＝ξ.考虑ξ中的某个元R，则上式左边是R类的所有元，因此右边的ξ就是一个完整的类．即η必由一些完整的类构成．定

6、理二两个类的类乘有（1.3-6）式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘CiCj中出现的次数．其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为一个集合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．证明：由式XCX-1=C得XCiX-1=Ci，XCjX-1=Cj所以，CiCj=XCiX-1XCjX-1=XCiCjX-1对所有X∈G成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合CiCj必由一些完整的类构成，因而可写成式（1.3–6）的形式.例：D3群中，六个元共分三类，可表为C1=E；C2={A,B,C};C3={D，F}于是，C

7、1C2=C2;C1C3=C3;C2C3=2C2;C2C2=3C1+3C3;C3C3=2C1+C3;定理三有限群G的阶为g，类C的元数为hC，则有g/hC=整数成立，即hC是g的整数因子．证明：分三步来证明这个定理．第一步：取群G中某一个确定的元X∈G，取S∈G，满足SXS-1=X的所有元的集合{S}=SX，证明SX是群G的一个子群．设Si,Sj∈SX则有SiXSi-1=X,SjXSj-1=X(1.3-7)于是(SiSj)X(SiSj)-1=Si(SjXSj)-1Si-1=SiXSi-1=X(1.3-8)上式表明，SiSj∈SX.由于SX是群

8、G的具有封闭性的子集，故SX是群G的子群.第二步：将群G按子群SX的陪集来分解，得G=R1SX+R2SX+…+RiSX(1.3-9)其中，R1=E，R2，…，Ri是陪集代表元.作