《D212高阶导数》PPT课件

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1、§1机动目录上页下页返回结束导数第二章§1.4高阶导数§1.3参数式函数与隐函数的导数二、高阶导数的运算法则§1.4一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束或高阶导数统称为高阶导数.称为一阶导数，机动目录上页下页返回结束设求解:依次类推,例1.思考:设问可得机动目录上页下页返回结束特别地

2、例2.设求解:特别有:机动目录上页下页返回结束例3.解:规定0!=1思考:设求机动目录上页下页返回结束例4.设求解:一般地,类似可证:机动目录上页下页返回结束几个常用的高阶求导公式1机动目录上页下页返回结束几个常用的高阶求导公式2机动目录上页下页返回结束例5.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束其中用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束例6.机动目录上页下页返回结束解:解

3、:求下列函数的n阶导数.(3)解:不能直接用除法相比X^3-1+1例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束练习题1.[cos(kx)](n)=k(n)cos[kx+nπ2]2.反函数的高阶导数导出解：第四节目录上页下页返回结束试从解:设求其中f二阶可导.3.机动目录上页

4、下页返回结束§1.3二、隐函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数机动目录上页下页返回结束参数式函数与隐函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数设关系,求机动目录上页下页返回结束若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动目录上页下页返回结束表示Y的二阶导数?例1.设求已知解:注意:机动目录上页下页返回结束dy’dy’dt=d(12t)dt=(12t)’df(x)dx=f’(x)X’例2.设,且求解:机动目录上页下页返回结束二、隐函数的导数若由方

5、程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)机动目录上页下页返回结束例3.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数机动目录上页下页返回结束对y取过导的都要乘上y’?例4.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束例5.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得解得，两边再对x求导，有上式中代入求机动目录上页下页返回结束并化简，有例

6、6.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求机动目录上页下页返回结束①例7.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导机动目录上页下页返回结束另解:1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:或机动目录上页下页返回结束2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例8两边取对数两边对x求导机动目录上页下页返回结束例9.对x求导两边取对数机动目录上页下页返回结束,求解：例10.设方程组两边同时对t求导,得机动目录上页下页返回结束内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某

7、些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为机动目录上页下页返回结束作业P8237,39,41,51,58,66,71,7374,77,79,87.(3),91.P8493.(1),95,96,108,111,117125,129,133,138第五节目录上页下页返回结束求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导练习题1.设机动目录上页下页返回结束2

8、.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故机动目录上页下页返回结束3.设求提示:分别用对数微分法求答案:机动目录上页下页返回结束