G94多元复合函数求导法

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1、第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则第九章1一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导数连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则中间变量是一元函数的情形若定理中说明:偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.2若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.3下列两个例题有助于称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设掌握这方面问题的求导技巧。常用导数符号4推广:1、中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2、中间变量是多元函

2、数的情形.例如,53、中间变量只有一个的情形例如:注:由于是一元函数,则它对的导数应该采用一元函数的导数记号例1.设求全导数解:6又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,7例1.设解:8例2设解:9求例3已知f可微，10例4已知连续,求解11例5已知求解f具有二阶连续偏导数,12例6.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则13例7已知解:14主讲教师:王升瑞高等数学第七讲15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一

3、样,这性质叫做全微分形式不变性.16例1.例1.利用全微分形式不变性再解解:所以17解例2.已知18的全微分.例3.计算函数解:19例4.设解法1利用公式有20例4.设解法2利用微分形式的不变性有21内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,22习题B2(1)求下列函数的偏导数证明设当时，于是：证明：因此23作业P822;4;8（1）（2）9;12(2);24思考与练习解答提示:P82题7P82题7;P131题11……25P131题1126例5解法一:利用微分形式的不变性有27例8求设

4、函数解:由题设28