多元复合函数求导(I)

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1、多元复合函数求导的链式法则第八章多元函数微分法第四节上页下页返回结束多元复合函数求导全微分形式不变性一元函数求导：微分：回顾：上页下页返回结束的复合函数一、多元复合函数求导的链式法则定理.若续的偏导数,则复合函数证明：的导数为上页下页返回结束有连可导,1.全导数全导数(中间变量为一元函数)设t有增量△t,则相应的中间变量u，v有增量△u,△v：上页下页返回结束由于z=f(u,v)有连续的偏导数,所以z=f(u,v)可微，(△t＜0时,根式前加“–”号)上页下页返回结束由得推广设而则2.中间变量是多元函数上页

2、下页返回结束上述求导规则称为多元复合函数的链式法则.1.复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个偏导数;2.有几个中间变量，就有几项相加;3.相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;4.中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导记号用，不止一个时，用偏导数记号上页下页返回结束链式法则的特点:特例1.上页下页返回结束注：这里与不同:上页下页返回结束特例2.表示复合函数固定自变量y，对表示函数固定中间变量v，而对中间自变量x求导,变量x求导.例1.设解：上页下页返回结

3、束例2.解：，求全导数设上页下页返回结束例3.解：设上页下页返回结束例4.解：求导数设上页下页返回结束引入中间变量则例5.设解：设则上页下页返回结束解答略。从而为简便起见,引入记号例6.设f具有二阶连续偏导数,求解：设上页下页返回结束则例7.设f具有二阶连续偏导数,求解：上页下页返回结束例8.，求一阶偏导数和解：上页下页返回结束二、全微分形式的不变性设函数z=f(u,v)可微，若u、v为自变量，则若u、v为中间变量:上页下页返回结束的全微分为则复合函数证明：上页下页返回结束可见无论u,v是自变量还是中间变量

4、,其全微分的表达形式都一样,这一性质称为全微分形式的不变性.例9.利用全微分形式不变性求函数解：上页下页返回结束的偏导.所以