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《D3-4函数的单调性与曲线的凹凸性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、罗尔定理：P134T8证明：1P134T5解：2证明等式证:设(常数)令x=0,得故所证等式在定义域上成立.P134T6推论:若函数是一个常数.3洛必达法则适用于：回味：洛必达法则4第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章51.拉格朗日定理：复习：称为I上的单调增函数;称为I上的单调减函数;2.增减函数的定义：6定理1：证明：由拉格朗日中值定理,得证毕1.利用导数的符号判断函数的单调性一、函数单调性的判定法说明：(2)单调区间应首先为连续区间.(1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然
2、成立.在I上单调递增在I上单调递减定理1：7例1.解:则单调增加区间是：单调递减区间是：的定义区间为在I上单调递增在I上单调递减定理1：①求的连续区间；②求③求驻点和不可导点；④用③中的点分割连续区间,列表判断.经验：求的单调区间(判断单调性)的步骤:化为积商；8例2.解:则单调增加区间是：单调递减区间是：注意到：9在I上单调递增在I上单调递减定理1：说明:1)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,2)定理中的条件是充分条件而非必要条件，3)定理中若等号仅在有限个点处成立,则函数仍单调增加.4)函数的单调性是一个
3、区间上的性质,要用导数在区间I上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别区间I上的单调性．10例3.证:2.利用单调性证明不等式.经验：用单调性证明不等式的步骤：①将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的②判断的单调性.③与端点的函数值比较可得所证的不等式.11例4.证:只要证所以原不等式成立.说明：1)为快速的证明,可对不等式做恒等变形后再设辅助函数.2)为证不等式12例5.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.由零点定理知存在即方程有小于1的正根2)唯一性.内至多有一个实根.所以方程有且仅有一个小于1的正根.定
4、理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点.3.利用单调性证明根的惟一性,讨论方程根的个数.思考:如何讨论方程有几个实根？13试确定的根的个数,并指出根的范围.例6.解：①做恒等变形(分离常数)②令③得驻点：有三个单调区间讨论：时有三个根在时有两个根在时有一个根在14回忆观察：虽然都是增函数，但曲线的形状不一样.所以为了解曲线的形状，只知道单调性是不够的.15二、曲线的凹凸与拐点.问题:曲线弧位于任一切线下方.曲线弧位于任一切线上方；如何研究曲线的弯曲方向?161.定义：(1)若恒有(2)若恒有说明：曲线：凹（凸）弧：凹凸区间.切线上
5、的纵坐标凸函数的函数值弦上的纵坐标.凸弧:17凹单调增特征：凹凸单调减特征：凸反之：凹，凸成立吗？182.凹凸性的判定定理：注意：该定理换成其它区间仍然成立.+–注意:函数的凹凸区间应首先为它的连续区间.定理2：例1.判断曲线的凹凸性.解：19例2.解：注意到,判断曲线的凹凸性.当时，所以在内是凸的.当时，所以在内是凹的.点是曲线由凸变凹的分界点.说明：凹凸性可用于证明不等式：如20例3.求的凹凸区间.解：定义域为有二阶不可导点列表讨论二阶导数的符号,来判定凹凸性.不存在说明：凹凸区间分界点的可疑点：21(1)定义:3.曲线的拐点及
6、其求法：2)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.1)拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.3)拐点的横坐标是连续区间内的点,不可能是区间的端点.4)拐点的横坐标的可疑点：注意:(2)求拐点方法1:22例4.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)定义区间：3)求拐点可疑点的横坐标2)不存在的点：4)列表判别凹凹凸不不凸凸拐点拐点故凹区间为：拐点为：凸区间为：23说明1:说明2:说明3:求函数的连续区间；求出求的根及不存在的根；列表判断说明4:求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：24证：(3)求拐点方法2:P154T15(2)求拐点方法1:2
7、5例5.解：★曲线的弯曲方向——凹凸性;★改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.求拐点26内容小结1.可导函数单调性判别2.曲线凹凸的判别在I上单调递增在I上单调递减定理1：定理2：3.拐点的定义:注：拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.27①求的连续区间，②求③求导数等于零的点和不可导点，④用以上的点分割定义区间,列表判断.4.求的单调区间(判断单调性)的步骤:化为积商，单调性的应用有:(1)可以确定某些方程实根的个数.(2)证明不等式.求函数的连续区间；求出求的根及不存在的根；列表判断5.求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如
8、下：凹凸性的应用有:(1)证明不等式,(2)求拐点.28的大小顺序是()BP182T2(1)思考与练习:提示:作业:P1523(1)(7),5(4)(5),9(3)(6),10(3),12.预习:P154-160思考：P153T4,7
