高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式学案含解析

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1、2．基本不等式1．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥，成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使≥成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b.2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2＋b2≥；(2)ab≤；(3)ab≤2；(4)2≤；(5)(a＋b)2≥4ab.利用基本不等式证明不等式　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.　解答本题可先利用1进行代换

2、，再用基本不等式来证明．　法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋10＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即＋＋≥9.法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴＋＋≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.证明：因为x1，x

3、2，x3为正实数，所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立．所以＋＋≥1.2．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵a，b，c，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，＋a≥2＝2c，∴＋＋≥2(a＋b＋c)．10即＋＋≥a＋b＋c.当且仅当＝b，＝c，＝a，即a＝b＝c时，等号成立.利用基本不等式求最值　(1)求当x>0时，f(x)＝的值域；(2)设00，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．　根据题设条件，合理变形，创造能用基

4、本不等式的条件，求最值．　(1)∵x>0，∴f(x)＝＝.∵x＋≥2，∴0<≤.∴00.∴y＝4x(3－2x)＝2≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∴y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：10(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值

5、，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x>0，y>0且5x＋7y＝20，求xy的最大值．解：xy＝(5x·7y)≤2＝×2＝.当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝时，等号成立，所以xy的最大值为.4．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，(1)求ab的取值范围；(2)求a＋b的取值范围．解：(1)∵a，b∈R＋，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.令y＝，得y2－2y－3≥0，

6、∴y≥3或y≤－1(舍去)．∴ab＝y2≥9.∴ab的取值范围是＝·1＋＋＋4≥·＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．所以＋的最小值为.利用基本不等式解决实际问题　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年春节期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年

7、生产的化妆品正好能销完．10(1)将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？　(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．　(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.当销售x万件时，年销售收入为150%＋t.由题意，生