高中数学第一讲不等式和绝对值不等式11不等式114基本不等式（2）课堂导学案新人

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1、1.1.4基本不等式(2)课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于X的不等式(1+心XW/+4的解集是M,则对任意实常数k,总有()A.2el,oeMB.2电M,OEMC.2GM,0^MD.2^M,0GMk4+4解析:M={x

2、xWk+1},..疋+4_疋-1+5•/+i~/+]二1?T+—二(1?+1)+25-2疋+1疋+1・・・2em,0em.答案:A温馨提示⑺+4本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式一经过变形化为宀1“x+纟(a>0)”型的式子，然后利用基本不等式求得最小值•在求最值时，形如“x+纟(a>0)”的

3、最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型，有很多最值问题可X转化为该类型，因此，在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件

4、PM

5、-

6、PN

7、=2^2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A,B是W上的不同两点,0是坐标原点，求OA•03的最小值.解析：(1)由

8、PM

9、-

10、PN

11、=2a/2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a二V2.又半焦距c二2,故b=4c1-ci1=V2.22所以w的方程为二一2L二1(x$血).22⑵设A(xi,yi),B(x2,V2),则Xi2-y

12、i2=(xi+yi)(Xi-yj二2(i二1,2).令Si二Xi+yi,ti=Xi-yi,则Sit：=2,且Si>0,ti〉0(i=l,2),所以OA•OB=xix2+yiy2=—(si+ti)(s2+t2)+—(Si-ti)(s2-t2)44-—S1S2+—t]t2^J冷应彳却?二2.当且仅当S

13、S2ft2,即4'-2，时成立,所以鬲•亦的最小值是2.A=-^2变式提升1若对任意正数X,y,都有兀+yx+2(2xy则实数a的最大值是（B.2C.22V2+1D.12V2+1解析:由亠故选A.x+2』2xyx+x+2y2答案:A二、利用基本不等式求条件等式

14、的最值19【例2］已知x>0,y>0,且—=1,求x+v的最小值.兀y19解法一：・・・x>0,y>0,一+—二1,x+y=(x+y)(—+—)=10+—=—Ml0+6二16,当且仅当—=—.xyyxyAx=4,y=12时,上式等号成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.19解法—•:T—+—=1,x>0,y>0,9x且X>1.9x99故x+y二x+二x++9=(xT)++10$6+10二16.x—x~x~当£L仅当x-l=,Vx>l,兀—1・・・x=4时上式等号成立.19解法三:・・・_+_=1,兀yy+9x=xy,得(xT)(y-9)

15、=9.又由条件知x>l,y>9,/.x+y=(x-1)+(y-9)+10>2j(x-l)(y-9)+10二16.当且仅当x-l=y-9=3,即x=4,y=12时,x+y取最小值16.温馨提示解法一、解法三的技巧性较强，解法二是把目标函数化为一元函数，一元函数再变形，“求积造定和或求和造定积”，难度明显降低,思路也自然些，这是解此类问题的通法.类题演练2若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2^3,则2a+b+c的最小值为()A.V3-1B.V3+1C.2a/3+2D.2a/3-2解析:由a(o+b+c)+bc二4-2^3=>a(a+b)+(a+b

16、)c=(a+b)(a+c)=4-2循.而2a+b+c二(a+b)+(a+c)22j(d+b)(d+c)=2J4_2忑-2-^3-2.当且仅当a+b二a+c,即b二c时等号成立.答案:D变式提升221已知X,yeR,且x+y=l,求一+—的最小值.兀y解法_：｛兀>°’=>o0记f(x)二丄攵x(l-x)令t=2-x,Vxe(o,1),-xG(-1,0),tu(1,2).3-(z+-)贝""x)_(2_f)(f_l)__/2+3/_2Vte(l,2),-(t+—)W—2V2,0〈3~(t+—)W3—2>/2•・・・f(x)=——>—

17、—=3+2V2.37+2)3-2血t.*.f(x)max=3+2V2.2此时t二一ot二V2o2-x二V2ox=2-V2•t[x>0,解法二：由彳得00・・上+丄"+y）（2+丄）=3+兰+空二3+2兰•空=3+2血X.xyxyyxyx当且仅当兰（又x+y二1）时“二”成立，即x=2-V2,y=V2-l时，？+丄的最小值为yxxy3+2迈.三、利用基本不等式解决实际应用问题【例3】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流!11,设箱体的长为am,高为bm,已知流出的水

18、中杂质的质量分数与乘积ab成反比，现有制箱材料60代，问当a,b各为多少米时，经