高中数学第一讲不等式和绝对值不等式11不等式113基本不等式（1）课堂导学案新人

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1、1.1.3基本不等式(1)课堂导学三点剖析一、利用基本不等式证明不等式【例1】a,b,cWR,求证:a'+b'+c空fb'+b'c'+c纭空abc(a+b+c),当且仅当a=b=c时取等号.思路分析：由于J+b空2航；说明了运用基本不等式，可以找到左式与中间式的关系.同样地,a2b2+b"cJ>2abJc,而abJc就是右式中的一项.证明：a4+b422a：bb'+c122b'c2,c^+a'N2a；c・•・2(a+b4+c4)$2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4^a2b2+b2c2+c2

2、a2.又a2b2+b2c25:2ab2c,b'c'+c纭空2bc纭，c"a"+CV22a"bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)N2(ab2c+bc2a+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).以上各式当且仅当沪b二c时取等号.温馨提示在证明不等式的一些题目时，若有和大于或等于积的形式，可考虑用均值不等式來证明,有时需要多次使用基本不等式才能解决问题.本题屮，字母a,b,c是可轮换的(即a-b,b-c,c-a式子不变)，这称为轮换对称式，轮换对称式的证明都可用此技巧.各个击破类题演练12

3、>22已知8,b,c丘(0,+°°),求证：—dF—Ma+b+c.bcaq2b?(11)+(a+b+c)22(a+b+c).bcaNa+b+c.a2b2c2——+——+—bca设a,b,c为不全相等的正数,求证：b+c-ac+ci-bQ+b—c、门++>3.ahc、丫口□4亠/bci、(cb、jac、ci止明：左式二(一+—)+(—I—)+(—I—)"3,abbccabacb、.acT—+—22,—I—)22—I—22,abbcca又a,b,c为不全相等的正数，故等号不可能同时取得，zba、zcb、zac、—••

4、(—+—)+(—+—)+(-+-)>6.abbcca因此原不等式成立.二、利用基本不等式证明条件不等式【例2］已知x,y>0,且x+y=l,求证:(1+—)(1+—)29.%y思路分析:最突岀的一点，要证的不等式屮有四个“1”，而已知条件x+y=l,又一个“1”，如何用好这些“1”呢？证法一:(1+—)(1+丄)无yxyxy=3+丄cyxx+yx+v二3+丄+—=——+——xyxy二5+2(-+—)>5+2X2Vf=9.兀y・••原不等式成立.证法二：(i+丄)(1+丄)*y_(x+l)(y+1)_(2x+y)(

5、2y+兀)_5xy+2(x2+y2)xyxyxy=5+空少裁+色空•••原不等式成立.JT证法三:设x=cos^,y=sin2e,6e(0,-),・・・(1+-)(1+丄)=(2+tan20)(2+cot20)=5+2(tan20+cot20)>5+2X17tan2^•COt26^=9.兀y温馨提示在运用基本不等式吋，活用“1”，巧用“1”，解法就会非常简洁.类题演练2已知x>0,y>0,且x+4y=l,求证：xyxy证明:(1)Vx+4y=l,xyxyxyxyxy(2)法一:Tx>0,y>0,且由⑴可知即有-4

6、-1>16.法二：Vx>0,y>0,x+4y=l,x+4y2yjx•4y=4y[xy.411i—(—I—)(x+4y)N16•—.—•Jxy=16.xy3A-4-—$16.已知3>0,b>0,a+b=l,求ill：:Ja+㊁+Jb+—W2.xnb+訐汀+p”+厂2,当且仅当8二b二一时取等号.2・••原不等式成立.三、利用基本不等式解决某些综合问题【例3］设a>0,aHl,t>0,试比较一logat与log“匚乜的大小.22思路分析：两式先化为同底对数1ogi.VF与1。◎口乜，由于t>o,应用均值不等式知—下一

7、步只要运用对数函数y^logax的单调性，就可以比较它们的大小了.解:心由均值不等式得学以，当且仅当口时取等号.2即loga^U二丄10gat；22当0〈tHl时，凹〉JF.2当0l时,函数y=logaX是增函数,222二100>logaVF,艮卩>丄logat.综上所述,当0〈a〈l时，—logatMloga七乜；22当a>l时，丄log“t.22温馨提示函数式的大小比较，除了利用求差比较法或均值不等式定理比较之外，还

8、要注意应用函数的重要性质一一单调性.指数函数，对数函数因底数范围不同，而单调性不同，要注意分类讨论.类题演练3己知X,y,Z是互不相等的正数,且x+y+z二1.试比较(--1)(丄-1)(--1)与8的大小关系.xyz解析:丄十沁土一1』+兰,XXXX1-x+y+z,xz—-1二1=—+—,yyyy1_x+y+z——_1=zy_y+z兀+zx+y2y[yz2y[xz2^[