高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.4基本不等式2课堂导学案新人教a版选修4

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1、1.1.4基本不等式（2）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有()A.2∈M,0∈MB.2M,0MC.2∈M,0MD.2M,0∈M解析:M={x

2、x≤},∵=k2-1+=(k2+1)+-2≥-2>2,∴2∈M,0∈M.答案:A温馨提示本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式经过变形化为“x+(a>0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如“x+(a>0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型

3、,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件

4、PM

5、-

6、PN

7、=,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解析:(1)由

8、PM

9、-

10、PN

11、=知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故b=.所以W的方程为=1(x≥).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令si=xi+yi,ti

12、=xi-yi,则siti=2,且si>0,ti>0(i=1,2),所以=x1x2+y1y2=(s1+t1)(s2+t2)+(s1-t1)(s2-t2)=s1s2+t1t2≥=2.当且仅当s1s2=t1t2,即时“=”成立,所以的最小值是2.变式提升1若对任意正数x,y,都有a≤,则实数a的最大值是()A.B.2C.D.解析:由≥=,故选A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值【例2】已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.解法一:∵x>0,y>0,+=1,∴x+y=(x+y)(+)=10+≥10+6=16,当

13、且仅当.又∵+=1,∴x=4,y=12时，上式等号成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.解法二:∵+=1,x>0,y>0,∴y=且x>1.故x+y=x+=x++9=(x-1)++10≥6+10=16.当且仅当x-1=，∵x>1,∴x=4时上式等号成立.解法三:∵+=1,∴y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由条件知x>1,y>9,∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.温馨提示解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标

14、函数化为一元函数,一元函数再变形,“求积造定和或求和造定积”,难度明显降低,思路也自然些,这是解此类问题的通法.类题演练2若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.+2D.-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-.而2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥=-2.当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.答案:D变式提升2已知x,y∈R+,且x+y=1,求+的最小值.解法一:0

15、x,∵x∈(0,1),∴-x∈(-1,0),t∈(1,2).则f(x)=,∵t∈(1,2),∴t+.∴-(t+)≤,0<3-(t+)≤3.∴f(x)==3+.∴f(x)max=3+.此时t=t=2-x=x=2-.解法二:由得0

16、水中杂质的质量分数与乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A、B孔的面积忽略不计)思路分析:要抓住本题的主要条件及要求:①流出的杂质与ab成反比，若设y为流出的杂质的质量分数，那么y=,其中k为反比例系数;②题目要求流出的杂质质量分数最小，就是积ab为最大.解法一:设y为流出的杂质的质量分数，则y=,k>0,k为比例系数，依题意，即所求的a,b的值，使y最小.依题设，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得b=(0

17、取等号，y达到最小值.这时a=6,a=-10(舍去)，将a=6代入①得b=3.∴当a为6m,b为3m时，沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.解法二:设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y=.其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.依题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a