高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1 不等式的基本性质学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，

2、b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减

3、；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒>(n＝2k＋1，k∈N*)．实数大小的比较　　　已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m和n的大小．　　m－n＝＋－＝－＝＝，∵x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是

4、：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2≥0.当且仅当a＝b时，等号成立，所以a4＋b4≥a3b＋ab3.2．在数轴的正半轴上，A点对应的实数为，B点对应的实数为1，试判断A点在B点的左边，还是在B点的右边？解：因为－1＝≤0，所以≤1.当且仅当a＝±时，等号成立，所以当a≠±时，A点在B点左边，当a＝±时，A点与B点重合.不等

5、式的证明　已知a>b>0，c.　可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．　法一：－＝＝，∵a>b>0，c0，c<0，∴a－c>0.同理b－d>0，∴(a－c)(b－d)>0.∵e<0，∴>0，即>.法二：⇒⇒＞.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.证明：左边－右边＝(y

6、－y2)x2＋(y2－1)x－y＋1＝(1－y)＝(1－y)(xy－1)(x－1)．因为x≥1，y≥1，所以1－y≤0，xy－1≥0，x－1≥0.所以x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.4．已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：>.证明：因为a，b，x，y都是正数，且>，x>y，所以>，所以<.故＋1<＋1，即<.所以>.利用不等式的性质求范围　(1)已知－≤α≤β≤，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．　求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质．　(1)∵－≤α≤β≤，∴－≤α≤，－≤－β≤，且α≤β.∴－π

7、≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b.解得λ1＝，λ2＝－.∴－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－.∴－≤a＋3b≤1.即a＋3b的取值范围为.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－