高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第2课时基本不等式学案新人教a版

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1、第2课时　基本不等式学习目标　1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．知识点　基本不等式思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.梳理　(1)重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)基本不等式①定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，

2、等号成立.②定理2的应用：对两个正实数x，y，(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值.类型一　不等式的证明例1　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴＋＋≥9.方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等

3、号成立．∴＋＋≥9.引申探究1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.证明　∵a2＋b2≥2ab，∴≥2a－b.同理，≥2b－c，≥2c－a.∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.2．若本例条件不变，求证：＋＋≥.证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.又a，b，c∈R＋，∴≥

4、a＋b

5、＝(a＋b)．同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)．三式相加，得＋＋≥(a＋b＋c)＝，当且仅当a＝b＝c时取等号．反思与感悟　用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，

6、然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练1　(1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；(2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：≥9.证明　(1)∵a，b，c，d，∈R＋，∴ab＋cd≥2，ac＋bd≥2，∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当a＝d且b＝c时取等号．(2)＝＝＝4＋2＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．∴≥9.类型二　利用基本不等式求最值例2　(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．解　(1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4

7、＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，∴＋的最小值是8.(2)∵x＜0，∴－x＞0,故f(x)＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.反思与感悟　在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．跟踪训练2　若实数a，b满足＋＝，则ab的最小

8、值为(　　)A.B．2C．2D．4答案　C解析　因为＋＝，所以a＞0，b＞0，因为＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.类型三　利用基本不等式解决实际应用问题例3　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定

9、为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解　(1)由题意可设3－x＝(k≠0)，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%＋t.由题意，生产x万件化妆品正好销售完，由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，得年利润y＝(t≥0)．(2)y＝＝50－≤5