“抛物线为背景的正方形”压轴题

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1、上海中学数学·2010年第1～2期“抛物线为背景的正方形"压轴题210019江苏南京金陵中学河西分校李玉荣用二次函数作压轴题长期受到中考命题者OIH一JCK=90。，所以△OHj△JKC．的青睐，只是抛物线背景中的对象时常改变．正评注：此题中的正方形的边长与位置确定。方形是一种既简单又完美的几何图形，它有许点A、B、C的坐标确定；第(2)、(3)问是坐标系多人们喜爱和广泛应用的性质，以抛物线为背中的几何证明题，解题的关键是借用函数关系景的正方形的中考压轴题应运而生，成为新课式将图中的相关线段用坐标来表示，数形结合程实施后中考的一个新亮点．思想的渗透是其亮点．一直面正方形二、探究正方形、例1

2、(2009淄博)如图1，在平面直角坐标例2(2008茂名)在平面直角坐标系中，9系中，正方形OABC的边长是2．0为坐标原点，抛物线一一÷+bx+c经过A(o，一4)、点A在z的正半轴上，点C在的正半轴上．一B(X1，O)、C(xz，O)三点，且I2一Xl一5．条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．(1)求b、c的值；(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线上求一点D，使得四边形(2)正方形BDCE是以BC为对角线的菱形；0A_BC的对角线0B(3)在抛物线上是否存在一点P，使得四边与抛物线交于E形BP0H是以OB为对角线的菱形?若存在，点，线段FG过点E求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为

3、正方与轴垂直，分别交形?若不存在，请说明理由．X轴和线段BC于1AF，G点，试比较线段图1简解：(1)6一一J．f一一4．0E与EG的长度；79(2)所求的点D为(一÷，)．(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意6U一点，线段J．，过点H与轴垂直，分别交轴(3)。．‘四边形BP0H是以OB为对角线的和线段BC于J、J点，点K在轴的正半轴上，菱形，点B的坐标为(一6，0)，根据菱形的性质，且OK一0H，请证明△0HlOO△JKC．9点P必是直线一一3与抛物线Y一一-4-01U简解：(1)抛物线的解析式为一一÷+1．1A‘士一一4的交点，．。．当z一一3时，一4，．‘．在(2)由于点E在正方形

4、的对角线0B上，又0在抛物线上，设点E的坐标为(i，m)(0

5、所以破口，再结合正方形特点解题，在解题过程中学1生经历了“问题探究——问题解决”的过程．q=一÷+1，即P：4—4q．因为0H—0+三、平移正方形HI2一(2～口)2，所以0H一2一q．所以oK—oH=2一q．所以CK=2一(2一q)一g—jH．又CJ=OI，例3(2009台州)如图2，已知直线Y上海中学数学·2010年第1～2期79(4)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使侣正方形．例如：如图9，△PB1CI为直角三角形?若存在，直接写出所有正方形ABCD是一次函／满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．数Y—z+1图像的其中一简解：(1)‘．‘四边形ABCO为正方形，．‘．个伴侣正方

6、形．C＼0C1=B1C1，0C1B1—90。，又。．。D是B1C1的(1)若某函数是一次中点，c1D一÷B1C1一1DC1，由旋转性质知函数y—+1，求它的图／＼像的所有伴侣正方形的C1OD=／AOA1一a，所以在Rt△C10D中，边长；(2)若某函数是反图9厶tan：&一，即tana的值为丢．比例函数y一(k>0)，，(2)如图8过点AI他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D(2，m)作AlE上．z轴，垂足为(m<2)在反比例函数图像上，求m的值及反比点E，在Rt△A1EO中，。例函数解析式；A1E．A1E协．眦一一‘一(3)若某函数是二次函数y—a212+c(n≠O)，它的图像的伴侣正方

7、形为ABCD，C、D1

8、AEo、一÷，设A1E—k，则OE=中的一个点坐标为(3，4)．写出伴侣正方形在抛厶图8物线上的另一个顶点坐标，写出符合2是，在Rt△AlE0中，题意的其中一条抛物线解析式，并判OA1=√5，根据勾股定理得A1E+OE2一断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数OAl2，即k+(2k)2一(√5)2，解得k：1．．‘．A1E还是偶数7．(本小题只需直接写出答一1，OE=2，又。．‘点A1在第二象限