正方形压轴题.doc

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1、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图5图6图7　　探究：设A、P两点间的距离为x．　　（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；　　（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；　　（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能

2、使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．　　（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）答案图1图2图3（1）解：PQ＝PB　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）　　证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．　　∴　NP＝NC＝MB．　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）　　∵　∠BPQ＝90°

3、，∴　∠QPN＋∠BPM＝90°．　　 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴　∠QPN＝∠PBM．　　　……………………（1分）　　又∵　∠QNP＝∠PMB＝90°，∴　△QNP≌△PMB．　……………………（1分）　　∴　PQ＝PB．　　（2）解法一　　由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．　　∵　AP＝x，∴　AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，　　∴　CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．　　得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．　………………（1分）　　S△PCQ＝CQ·PN＝×（

4、1－）（1－）＝－＋x2　　（1分）　　S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．　　即　y＝x2－＋1（0≤x＜）．　　　　　　……………………（1分，1分）　　解法二　　作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．　　∴　PT＝CB＝PN．　　又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．　　S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN　…（2分）　　＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1　　∴　y＝x2－

5、＋1（0≤x＜）．　　　　　　　　……………………（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形　　①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，　　此时x＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）　　②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）　　解法一　此时，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．　　∴CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．　　

6、当－x＝－1时，得x＝1．　　　　　　　　　　　……………………（1分）　　解法二　此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，　　∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，　　∴　AP＝AB＝1，∴　x＝1．　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）