分类加法计数原理与分步乘法计数原理1

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1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步第十章计数原理、概率、随机变量及分布列[考纲点击]1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用它们分析和解决一些简单的实际问题．1．从3名女同学2名男同学中选一人，主持本班的“勤俭节约、从我做起”主题班会，则不同的选法种数为()A．6B．5C．3D．2解析：从3名女同学2名男同学中选一人共分两类：选一名女生有3种方法，选一名男生有2种方法，故不同的选法种数为3＋2＝5种．答案：B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种

2、B．20种C．25种D．32种解析：每位同学都有2种不同的报名方法，故不同的报名方法有25＝32种．答案：D答案：D4．书架上原来并排着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有________．解析：将3本不同的书依次插入，分别为6、7、8种不同的插法，故将3本不同的书插到原来并排的5本不同的书中共有6×7×8＝336种不同的排法．答案：3365．如图用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有__________种．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1

3、＋3)＝480种．答案：4801．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．m＋n2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．m×n[自主解答]以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝

4、20(种)方法，即有20个符合题意的椭圆．解：当m＝2时，n＝1，有1种选择；当m＝3时，n＝1,2，有2种选择；当m＝4时，n＝1,2,3，有3种选择；当m＝5时，n＝1,2,3,4，有4种选择；∴共有1＋2＋3＋4＝10种方法，即有10个符合题意的椭圆．若将“焦点在y轴”改为“焦点在x轴”呢？[悟一法]利用分类加法计数原理解决问题应注意以下两点：(1)所谓完成一件事有几类办法，指的就是完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的一个分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)分类时要注意满足一个基本要求，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属

5、于不同种类的两种方法是不同的方法．[通一类]1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？解：一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能．一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位数分成10类：(1)当个位数字为0时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数；(2)当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数；(3)当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当

6、个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个．由分类加法计数原理可知，满足条件的两位数共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45个.[做一题][例2]已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？[自主解答](1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点共有6×6＝36

7、个．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．[悟一法]应用分步乘法计数原理解决