向量的线性运算

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1、柯桥中学高三数学组何利民第五编平面向量§5.1向量的线性运算1．向量概念向量是既有大小又有方向的量。两个向量之间的只能说相等或不相等、共线或不共线，而无所谓谁大谁小。但向量的长度(模)是可以比较大小的。D2．零向量零向量是指长度为0的向量。规定：零向量与任一向量平行。即零向量的方向不确定A3．单位向量长度为1个单位长度的向量叫单位向量。4．共线向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量。任一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量又叫共线向量。特别规定：零向量与任一向量平行。常用5．向量的加法与减法三角形法则与平行四边

2、形法则运算性质：(交换律）；(结合律）；(2)减法①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角形法则.OD6．实数与向量的积7．平面向量基本定理B基础自测1.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是A.B.（）C.D.=C2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于A.B.（）C.D.A3.（2009·北京理，2）已知向量a、b不共线，c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（）A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向D4.下列各命题中

3、，真命题的个数为（）①若

4、a

5、=

6、b

7、，则a=b或a=-b；②若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b,b=c，则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.4B.3C.2D.1D5.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形解析由已知得=-8a-2b，故，由共线向量知识知AD∥BC，且

8、AD

9、=2

10、BC

11、，故四边形ABCD为梯形，所以选A.A题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题①向量的长度与向量

12、的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5题型分类深度剖析C（1）本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量.（2）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是

13、既有大小又有方向的量.探究提高知能迁移1下列结论中，不正确的是（）A.向量，共线与向量∥同义B.若向量∥，则向量与共线C.若向量=，则向量=D.只要向量a，b满足

14、a

15、=

16、b

17、，就有a=bD题型二平面向量的线性运算【例2】在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE，设，，试用表示，.结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.思维启迪（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互

18、转化.（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.探究提高知能迁移2B题型三共线向量问题【例3】（12分）设两个非零向量不共线，(1)若.求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使（1）由已知求→判断与的关系→判断A、B、D的关系.（2）应用共线向量的充要条件→列方程组→解方程组得k值.思维启迪探究提高（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.（

19、2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.C例4若点A分PB所成比为-t,点O在直线AB外。OA=aOB=b则OP=____。（A）(1+t)a+b（B）a+(1+t)b（C）(1-t)a+tb（D）ta+(1-t)bOAPBab解：PA=-tABOA-OP=-t(OB-OA)a-OP=-t(b-a)∴a-OP=ta-tbOP=(1-t)a+tbB例6、06湖南卷BMOAPx<0方法与技巧1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，

20、是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.思想方法感悟提高失误与防范1.0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行