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1、§7．2向量及其加减法向量与数的乘法§7.1向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或、、、.自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起
2、点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、、的模分别记为
3、a
4、、、.单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点
5、在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念.设有k(k³3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则.平行四边形法则:当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和
6、a+b.9§7．2向量及其加减法向量与数的乘法ABCABCD向量的加法的运算规律:(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n个向量a1,a2,×××,an(n³3)相加可写成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法则,可得n个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.负向量:设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a
7、.向量的减法:我们规定两个向量b与a的差为b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a.特别地,当b=a时,有a-a=a+(-a)=0.---显然,任给向量及点O,有,因此,若把向量a与b移到同一起点O,则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b-a.三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理,有
8、a+b
9、£
10、a
11、+
12、b
13、及
14、a-b
15、£
16、a
17、+
18、b
19、,其中等号在b与a同向或反向时成立.9§7．2向量及其加减法向量与数的乘法2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a与实数l的乘积记作la,规定la是一个
20、向量,它的模
21、la
22、=
23、l
24、
25、a
26、,它的方向当l>0时与a相同,当l<0时与a相反.当l=0时,
27、la
28、=0,即la为零向量,这时它的方向可以是任意的.特别地,当l=±1时,有1a=a,(-1)a=-a.运算规律:(1)结合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律(l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1.在平行四边形ABCD中,设=a,=b.试用a和b表示向量、、、,其中M是平行四边形对角线的交点.解由于平行四边形的对角线互相平分,所以ABCDMa+b,即-(a+b),于是(a+b).因为,所以(a+b).又因-a+
29、b,所以(b-a).由于,所以(a-b).例1在平行四边形ABCD中,设,.试用a和b表示向量、、、,其中M是平行四边形对角线的交点.ABCDM解由于平行四边形的对角线互相平分,所以,于是;.9§7．2向量及其加减法向量与数的乘法因为,所以;向量的单位化:设a¹0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.于是a=
30、a
31、ea.向量的单位化:设a¹0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.于是a=
32、a
33、ea.定理1设向量a¹0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数l,使b=la.证明:条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.
34、设b//a.取,当b与a同向时l取正值,当b与a反向时l取负值,即b=la.这是因为此时b与la同向,且
35、la
36、=
37、l
38、
39、a
40、.再证明数l的唯一性.设b=la,又设
