向量及其线性运算(II)

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1、第一节向量及其线性运算一、空间直角坐标系二、向量与向量的线性运算三、向量的坐标表示式四、用坐标表示向量的模和方向余弦第六章向量代数与空间解析几何空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标系xyzoⅦ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点两点间的距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为同理可得，点到轴和轴的距离分别为其中分别是点在轴和轴上的投影。例2在轴上求与点等距离的点。解因为所求的点在轴上，故可以设它为依题意有即有解得因此，所求的点为向量：既有

2、大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.向量的模：向量的大小.单位向量：二、向量与向量的线性运算或或或1、向量的概念自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.[1]加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2、向量的线性运算1、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关

3、系按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例3已知平行四边形ABCD的对角线向量为，,试用向量a和b表示向量解设的交点为O（图），由于平行四边形对角线互相平分，故三、向量的坐标表示式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式如图所示：向量的坐标表示设向量向量模长的坐标表示式1、向量的模四、用坐标表示向量的模和方向余弦空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.2、方向余弦非零向量的

4、方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的和特殊地：单位向量的方向余弦为例4已知点求向量方向相同的的模、方向余弦及与单位向量.解由（2）式和（3）式，得故由（11）式知，向量是与a方向相同的单位向量，所以与方向相同的单位向量为例5设向量的方向角为锐角，且求向量的坐标表示式解因为于是有故所以，向量的坐标表示式为例6设向量解因为,故由（8）式，得即所以练习题练习题答案