向量及其线性运算(VII)

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1、课程名称：微积分A（2）任课教师：谭劲英电话：18971485691邮箱：jytan@mail.hzau.edu.cn解析几何：用代数的方法研究几何问题的数学分支.方法：类比法（空间解析几何与平面解析几何进行类比）重要工具：向量（自然界中既有大小，又有方向的量的数学抽象）第五章向量代数与空间解析几何笛卡儿（1596-1690）----著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一.黑格尔称他为“现代哲学之父”.1637年，笛卡儿发表了《几何学》.《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方

2、法，标志着解析几何学的诞生.解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来.此后，人类进入变量数学阶段.笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域.一、空间直角坐标系第一节向量及其线性运算横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.1、空间直角坐标系的建立Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示：坐标轴上的点坐标面上的点2、点的表示3、空间两点间的距离公式空间两点间

3、距离公式特殊地：若两点分别为证：原结论成立.类似：问题：（1）第一卦限点的坐标有何特点？（2）坐标面、坐标轴上的点有何特点？（3）M（x,y,z）关于坐标面、坐标轴、坐标原点的对称点有何特点？二、向量与向量的表示1、向量及其几何表示向量：既有大小又有方向的量向量表示：或相等向量：大小相等且方向相同的向量自由向量：不考虑起点位置的向量向量的夹角：2、向量的坐标表示3、向量的模与方向角

4、

5、向量的模：向量的大小（长度）或记作模为1的向量称为单位向量.非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角，分别记为1、

6、向量的加法（减法）：平行四边形法则：三、向量的加减法与数乘运算（线性运算）缺点：对两个平行向量的加法未做说明三角形法则：减法例4、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证：与平行且相等,结论得证.向量加法的坐标表达式结论：两向量和的坐标分别是两向量对应坐标之和.向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：2、向量与数的乘法数乘运算的坐标表达式结论：向量与数的乘积的坐标分别是向量的三个坐标与该数之积.数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：‖3、向量的

7、平行（共线或线性相关）4、向量按基本单位向量的分解表达式空间一点在轴上的投影5、向量的投影AA′空间一向量在轴上的投影说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等。向量的概念（注意与标量的区别）向量的线性运算及坐标表示式向量的表示形式：几何形式，坐标形式，分解表达式向量的模与方向余弦四、小结向量在轴上的投影