空间向量的线性运算

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1、3.13.1.1空间向量的线性运算理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何知识点一知识点二考点三3．1.1空间向量的线性运算李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1000m，再向东行驶1500m，最后乘电梯上升15m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三次位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．空间向量的概念(1)定义：在空间中，把具有的量叫做向量．(2)零向量：起点与终

2、点的向量叫做零向量，记为0.(3)长度：表示向量a的的长度叫做向量的长度或模，记作．大小和方向重合有向线段

3、a

4、(4)基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的叫做向量的基线．(5)共线向量(平行向量)：如果空间中一些向量的基线，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b，记作．规定零向量与共线．直线互相平行或重合a∥b任意向量问题1：空间两向量的加法、减法和数乘向量的运算与平面内两向量的运算完全一致吗？提示：完全一致．因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内．问题2：空间向量的加、减运算能用平行四边形法则和三角形法则吗？提示：能用．

5、02．空间向量的加法、减法和数乘向量运算(1)加法交换律a＋b＝；(2)加法结合律(a＋b)＋c＝；(3)分配律(λ＋μ)a＝，λ(a＋b)＝．(4)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和．(5)三个不共面的向量的和等于以这的平行六面体的对角线所表示的向量．b＋aa＋(b＋c)λa＋μaλa＋λb不变三个向量为邻边1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般的说，向量不能比较大小；2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行；3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量；4

6、．λa是一个向量，当λ＝0或a＝0时，λa＝0；5．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[答案]B[一点通](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a、b满足

7、a

8、＝

9、b

10、，则a＝b；④若空间向量m，

11、n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，不一定有起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．答案：D2．下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相

12、反向量；(2)若a、b满足

13、a

14、>

15、b

16、且a、b同向，则a>b；(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；(4)对于任何向量a、b，必有

17、a＋b

18、≤

19、a

20、＋

21、b

22、.其中正确命题的序号为()A．(1)，(2)，(3)B．(4)C．(3)，(4)D．(1)，(4)解析：对于(1)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确．答案：B[思路点拨]借助向量运算的三角形法则和平行四边形法则进行运算．[一点通]在进行减法运算时，可将减

23、去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．答案：D答案：A[思路点拨]利用向量的加减运算和数乘运算求解．[一点通]用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，充分利用空间向量的线性运算和运算律．点击下图进入“应用创新演练”