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1、第一章向量代数§4向量的外积§1向量的线性运算§2仿射坐标系§3向量的内积§5向量的多重乘积§1向量的线性运算1.1向量的概念1.2向量的线性运算1.3向量的分解1.4在三点共线问题上的应用1.1向量的概念现实中：温度、时间、身高、体重等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量只有大小，称为数量(或标量);既有大小又有方向，称为向量(或矢量).记号:黑斜体小写西文字母,如向量,,,a,b,c等.用绝对值记号表示向量的大小,如
2、
3、表示向量的大小.向量的表示:几何上,用有向线段表示向量,有向线段的长度和方向分别表
4、示了向量的大小和方向.记起点、终点分别为A,B的有向线段为AB如右图,有向线段AB表示向量AB注:今后就把有向线段看作向量,向量与有向线段的起点选取无关,也称为自由向量;向量的大小也称为向量的长度或模.1.1向量的概念零向量:大小为0的向量,其方向不定,记为0.单位向量:长度为1的向量,与同方向的单位向量记为0向量相等:若向量与大小相等,方向相同,则称与相等,记作＝.平行向量:若向量与方向相同或相反,则称与平行,记作∥.规定:零向量与任何向量平行.1.1向量的概念反向量:与的长度相
5、同,但方向相反的向量称为的反向量,记作－.正交向量:若向量与的方向互相垂直,则称与垂直或正交,记作.规定:零向量与任何向量正交.1.1向量的概念1.向量的加法三角形法则:ABC+平行四边形法则:ABCD+1.2向量的线性运算交换律向量加法运算律:+=+结合律(+)+=+(+)=++ABCD+(+)++(+)==+++1.2向量的线性运算三角形法则可推广到多个向量相加,如下图:s=1+2+3+4+5,123
6、45sn个向量相加法则:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量1,2,,n,再以第一向量的起点为起点,末一向量的终点为终点,作一向量,即为和向量1.2向量的线性运算2.向量的减法规定:=+()ABCD+()三角不等式:
7、+
8、
9、
10、+
11、
12、,
13、
14、
15、
16、+
17、
18、常用等式:AB=OBOA,AB=AOBO1.2向量的线性运算3.向量与数的乘积(向量的数乘)向量与实数的乘积是一个新向量,记作,的长度为
19、
20、=
21、
22、
23、
24、的方向为与同
25、向,>0与反向,<0方向不定,=0特别地,1=,1==0=0或=01.2向量的线性运算向量的数乘运算律:结合律分配律()=()=()(+)=+(+)=+若0,则/
26、
27、为单位向量,称为的单位化.显然有0=/
28、
29、,从而=
30、
31、0.1.2向量的线性运算例1设AC,BD是平行四边形ABCD的两条对角线,已知向量AC=,BD=,求向量AB和BC.解:ABCD设AC与BD相交于O.O易见AB=AOBOBC=BO+OC而
32、AO=OC=1/2AC,BO=1/2BD,故AB=1/21/2=1/2(),BC=1/2+1/2=1/2(+).1.2向量的线性运算1.3向量的分解定义1设1,2,,n,是一组向量,若=k11+k22++knn,则称是向量组1,2,,n的线性组合,或称可由向量组1,2,,n线性表示.k1,k2,,kn是一组实数,也称可对向量组1,2,,n分解.k1,k2,,kn称为组合系数或分解系数,定义2如果一组向量平行于同一直线,就称它们共线;如果一组向
33、量平行于同一平面,就称它们共面.由定义易知,向量组1,2,,n共线(面)就是:当用同一起点O作有向线段OAi=i,i=1,2,…,n时,O,A1,A2,,An共线(面).注:向量组共线就是其中任何两个向量平行,向量组共面就是其中任何三个向量共面.于是判别“两向量是否平行”,“三向量是否共面”成为基本问题.1.3向量的分解定理1.1(向量分解定理)(2)若向量,,共面,并且与不平行,则存在唯一的一对实数,使得=+.(3)若向量,,不共面,则任何向量都可以对,,分解,且
34、分解方式唯一.(1)设为非零向量,则//(与共线)当且仅当存在唯一实数,使得=.向量分解定理是建立仿射坐标系的理论基础,也是仿射几何学的基础!1.3向量的分解证明:设//,取其中=1,当与同向时,1,当与反向时,容易验证=.(1)必要性.充分性由平行定义易知.再证数的唯一性.设又有＝,则()=
