补充_1 向量及其线性运算

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1、数量关系—第二部分空间解析几何第一部分向量代数在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相

2、同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式定理1推论1推论23.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同

3、向,“”则已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b例1.设M为解:ABCD对角线的交点,再证数的唯一性.则设又有b＝a,ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(立轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);O(0,0,0)坐标轴:坐标面:在各卦限中点的坐标的符号?2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量

4、.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式或坐标表达式任意向量r可用向径OM表示.四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例2.求解以向量为未知元的线性方程组解①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的

5、轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6已知两点和解求2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹3.向量的投影向量和投影空间一向量在轴上的投影已知向量的起点A和终点B在轴u上的投

6、影分别为向量投影的性质性质1性质2性质3解:因例9.设求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、小结(1)加法：2、向量的线性运算(2)减法：(3)向量与数的乘法：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平备用

7、题2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.