圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

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1、圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线经过F，且与圆锥曲线交

2、于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长；（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长.推论：（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.典题妙解19下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（＞0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.（Ⅰ）当轴时，求p，m的值，并判断抛物线的焦点

3、是否在直线AB上；OABxy（Ⅱ）若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.ABCDOxyP例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过19的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.（1）设P点的坐标为，证明：＜1.（2）求四边形ABCD的面积的最小值.例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点.已知、19、成等差数列，且与同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；AByOFxNM（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为

4、4，求双曲线的方程.金指点睛191.已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点，则=_________.2.过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则=_________.3.已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.BOxyAFyOFxAB4.已知抛物线（＞0），弦AB过焦点F，设，△AOB的面积为S19，求证：为定值.5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y19轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.OxNPyMQF6.

5、(07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.19（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值.yOFxABDECmP7.点M与点的距离比它到直线的距离小1.（1）求点M的轨迹方程；19FOxABDCy（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D.求四边形ACBD的最小面积.8.已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线19的准线为其中一条准线.（1）求双曲线的方程；yAOxBCD（2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与

6、双曲线相交于A、B；C、D.求四边形ACBD的面积的最小值.参考答案：19证明：设双曲线方程为（＞0，＞0），通径，离心率，弦AB所在的直线的方程为（其中，为直线的倾斜角），其参数方程为.代入双曲线方程并整理得：.由t的几何意义可得：例1.解：（Ⅰ）当轴时，点A、B关于x轴对称，，直线AB的方程为.从而点A的坐标为或.点A在抛物线上，即此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上.（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知.则直线AB的方程为.抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径，离心率19，于是有又AB过椭圆的右焦点，通径，离心率.OABxy解之得：

7、.抛物线的焦点在直线上，，从而.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为例2.（1）证明：在中，.O是的中点，得点P在圆上.显然，圆在椭圆的内部.故＜1.（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由可知，直线AC的倾斜角.19通径，离心率.又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、，于是ABCDOxyP四边形ABCD的面积..故四边形ABCD面积的最小值为.例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为（＞0，＞0）.、、成等差数列，设，公差为d，则，，.即..从而，.又设直线的倾斜角为，则.的方程为.而19AByOFxNM.解之得：（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为,

8、则..而.通径.又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：.即.解得，从而.所