圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

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1、圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?定理已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为的直线经过F,且与圆锥曲线交

2、于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长;(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长.推论:(1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.(2)焦点在y轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.典题妙解19下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1(06湖南文第21题)已知椭圆,抛物线(>0),且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.(Ⅰ)当轴时,求p,m的值,并判断抛物线的焦点

3、是否在直线AB上;OABxy(Ⅱ)若且抛物线的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.ABCDOxyP例2(07全国Ⅰ文第22题)已知椭圆的左、右焦点分别为、,过19的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,垂足为P.(1)设P点的坐标为,证明:<1.(2)求四边形ABCD的面积的最小值.例3(08全国Ⅰ理第21题文第22题)双曲线的中心为原点O,焦点在x上,两条渐近线分别为、,经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点.已知、19、成等差数列,且与同向.(Ⅰ)求双曲线的离心率;AByOFxNM(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为

4、4,求双曲线的方程.金指点睛191.已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点,则=_________.2.过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点,则=_________.3.已知椭圆,过左焦点F作直线交A、B两点,O为坐标原点,求△AOB的最大面积.BOxyAFyOFxAB4.已知抛物线(>0),弦AB过焦点F,设,△AOB的面积为S19,求证:为定值.5.(05全国Ⅱ文第22题)P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y19轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.OxNPyMQF6.

5、(07重庆文第22题)如图,倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.19(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程;(Ⅱ)若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交轴于点P,证明为定值,并求此定值.yOFxABDECmP7.点M与点的距离比它到直线的距离小1.(1)求点M的轨迹方程;19FOxABDCy(2)经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B;C、D.求四边形ACBD的最小面积.8.已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同,且以抛物线19的准线为其中一条准线.(1)求双曲线的方程;yAOxBCD(2)若经过焦点且互相垂直的两条直线与

6、双曲线相交于A、B;C、D.求四边形ACBD的面积的最小值.参考答案:19证明:设双曲线方程为(>0,>0),通径,离心率,弦AB所在的直线的方程为(其中,为直线的倾斜角),其参数方程为.代入双曲线方程并整理得:.由t的几何意义可得:例1.解:(Ⅰ)当轴时,点A、B关于x轴对称,,直线AB的方程为.从而点A的坐标为或.点A在抛物线上,即此时抛物线的焦点坐标为,该焦点不在直线AB上.(Ⅱ)设直线AB的倾斜角为,由(Ⅰ)知.则直线AB的方程为.抛物线的对称轴平行于轴,焦点在AB上,通径,离心率19,于是有又AB过椭圆的右焦点,通径,离心率.OABxy解之得:

7、.抛物线的焦点在直线上,,从而.当时,直线AB的方程为;当时,直线AB的方程为例2.(1)证明:在中,.O是的中点,得点P在圆上.显然,圆在椭圆的内部.故<1.(2)解:如图,设直线BD的倾斜角为,由可知,直线AC的倾斜角.19通径,离心率.又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、,于是ABCDOxyP四边形ABCD的面积..故四边形ABCD面积的最小值为.例3,解:(Ⅰ)设双曲线的方程为(>0,>0).、、成等差数列,设,公差为d,则,,.即..从而,.又设直线的倾斜角为,则.的方程为.而19AByOFxNM.解之得:(Ⅱ)设过焦点F的直线AB的倾斜角为,

8、则..而.通径.又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有:.即.解得,从而.所

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