圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good.doc

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1、圆锥曲线的极坐标方程知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：.1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.ep引论（1）若1+

2、ecos则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线ep（2）若1-esin当0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线ep（3）1+esin当0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，222abepep2ab1、椭圆中，pc，MN.222cc1eco

3、s1ecos()accos2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）2epep2ab若M、N在双曲线同一支上，MN；2221ecos1ecos()accos2epep2ab若M、N在双曲线不同支上，MN.2221ecos1ecosccosapp2p3、抛物线中，MN21cos1cos()sin22xy例1过双曲线-1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，求｜AB｜453解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系5即得23cos

4、所以A(,),B(,)1233又由AB

5、

6、125580

7、

8、得723cos23cos()33注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是;对于两个端点都1在双2曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是;对于两个端点分别在双曲线左、右支1上的2弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是-或为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用1-122变式练习：

9、等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A,B6两点，求AB求｜AB｜1解：12cosA(,),B(,)1266AB

10、

11、1211

12、

13、22

14、

15、12co（s）12cos()262666附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若F、F分别是椭圆的左、右焦点，则PFaex，PFaex；12122、若F、F分别是双曲线的左、右焦点，12当点P在双曲线右支上时，PFexa，PFexa；12当点P在双曲线左支上时，PFaex，PFaex；1

16、2p3、若F是抛物线的焦点，PFx.2利用弦长求面积22高考题（08年海南卷）过椭圆xy1的焦点F作一条4斜率为2的直线与椭圆交于A，54B两点，O为坐标原点，求AOB的面积．2ep简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式

17、AB

18、求弦长，然后利用公式221ecos1S

19、AB

20、

21、OF

22、sinAFO直接得出答案。AOB22x2变式(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆y1的左焦点.过点F的直线l1与椭圆交2于P、Q两点，过F且与l垂直的直线l交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最12小值和最大值.2解析以点F为极点，建立极坐标

23、系，则椭圆的极坐标方程为：221cos20设直线l的倾斜角，则直线l的倾斜角为90，由极坐标系中焦点弦长公式知：12222

24、PQ

25、，

26、MN

27、12120121cos1cos(90)1sin222用他们来表示四边形的面积111S

28、PQ

29、

30、MN

31、21122112sincossin2242161即求的最大值与最小值112sin221616由三角知识易知：当sin21时，面积取得最小值；当sin20时，面积取得最大值29利用弦长公式解决常量问题22xy1(ab0)22例一．过椭圆ab的左

32、焦点F，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A、B两点，FA2FB若，求椭圆的离心率.简解，建立极