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《圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、圆锥曲线的极坐标方程知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为:.1ecos其中p是定点F到定直线的距离,p>0.当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线;当e=1时,方程表示开口向右的抛物线.ep引论(1)若1+
2、ecos则0<e<1当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时,方程表示开口向左的抛物线当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线ep(2)若1-esin当0<e<1时,方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时,方程表示开口向上的抛物线当e>1时!方程表示极点在上焦点的双曲线ep(3)1+esin当0<e<1时,方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时,方程表示开口向下的抛物线当e>1时!方程表示极点在下焦点的双曲线(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,222abepep2ab1、椭圆中,pc,MN.222cc1eco
3、s1ecos()accos2、双曲线中,(注释:双曲线问题比较特殊,很多参考书上均有误解。)2epep2ab若M、N在双曲线同一支上,MN;2221ecos1ecos()accos2epep2ab若M、N在双曲线不同支上,MN.2221ecos1ecosccosapp2p3、抛物线中,MN21cos1cos()sin22xy例1过双曲线-1的右焦点,引倾斜角为的直线,交双曲线与A、B两点,求|AB|453解:根据题意,建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系5即得23cos
4、所以A(,),B(,)1233又由AB
5、
6、125580
7、
8、得723cos23cos()33注释:求椭圆和抛物线过焦点的弦长时,无需对v加绝对值,但求双曲线的弦长时,一定要加绝对值,这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是;对于两个端点都1在双2曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是;对于两个端点分别在双曲线左、右支1上的2弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是-或为统一起见,求双曲线时一律加绝对值,使用1-122变式练习:
9、等轴双曲线长轴为2,过其右有焦点,引倾斜角为的直线,交双曲线于A,B6两点,求AB求|AB|1解:12cosA(,),B(,)1266AB
10、
11、1211
12、
13、22
14、
15、12co(s)12cos()262666附录直角坐标系中的焦半径公式设P(x,y)是圆锥曲线上的点,1、若F、F分别是椭圆的左、右焦点,则PFaex,PFaex;12122、若F、F分别是双曲线的左、右焦点,12当点P在双曲线右支上时,PFexa,PFexa;12当点P在双曲线左支上时,PFaex,PFaex;1
16、2p3、若F是抛物线的焦点,PFx.2利用弦长求面积22高考题(08年海南卷)过椭圆xy1的焦点F作一条4斜率为2的直线与椭圆交于A,54B两点,O为坐标原点,求AOB的面积.2ep简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式
17、AB
18、求弦长,然后利用公式221ecos1S
19、AB
20、
21、OF
22、sinAFO直接得出答案。AOB22x2变式(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆y1的左焦点.过点F的直线l1与椭圆交2于P、Q两点,过F且与l垂直的直线l交椭圆于M、N两点,求四边形PMQN面积的最12小值和最大值.2解析以点F为极点,建立极坐标
23、系,则椭圆的极坐标方程为:221cos20设直线l的倾斜角,则直线l的倾斜角为90,由极坐标系中焦点弦长公式知:12222
24、PQ
25、,
26、MN
27、12120121cos1cos(90)1sin222用他们来表示四边形的面积111S
28、PQ
29、
30、MN
31、21122112sincossin2242161即求的最大值与最小值112sin221616由三角知识易知:当sin21时,面积取得最小值;当sin20时,面积取得最大值29利用弦长公式解决常量问题22xy1(ab0)22例一.过椭圆ab的左
32、焦点F,作倾斜角为60的直线l交椭圆于A、B两点,FA2FB若,求椭圆的离心率.简解,建立极