粗几何中的同伦与相对双曲群上的Mineyev构造

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1、论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。作者签名：论文使用授权声明本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。作者签名：纽导筛主弛期：幽第一节粗几何意义下的同伦对于几何空间，我们可以通过计

2、算它们的K．同调群，K一群得到空间的儿何拓扑信息。而这样的可计算空间的范畴可以通过同伦概念加阱拓广。在粗几何领域，作为经典概念的推广，不同的作者从不同的角度出发引入了多个同伦概念。虽然这些具体的同伦实现都基于一个简单的思想，但是它们之间还是存在着微妙的区别和联系。在f21中，Higson和Roe引进了一个粗同伦的概念，并在空间x×『O，11上赋予一个新的度量，使得每个x的拷贝x×f￡，都能等距嵌入到Y。在这个度量的帮助下，他们运用Ka8口arov汪明解析K一同凋群同伦不变的技巧证明了Roe代数的K，群是相同伦不变的。其中Roe代数是几何空间上通

3、过控制局部紧算子的传播速度产生的C+一代数，是反映几何空问粗结构特征的指标代数。于是上述命题的意义就是几何空间在某种同伦等价的情况下，他们的粗结构特征是不变的。同样在『7{中，Ⅵl受到Groznov文章的启发，引入了利普希兹同伦的概念。并构造证明了在利普希兹同伦等价的情况下，m)e代数的K一群也是稳定不变的。这两个结果都可以应用到单连通，非正曲率完备黎曼流行上，得到粗形式的B“m．c。nnes猜测成立。在另一篇文章中，Ⅵl引入了一个相对较强的同伦形式一一强利普希兹同伦．并同样证明了在强利普希兹同伦等价下，R。e代数K一群的稳定性。本节我们将要讨

4、论这些不同形式的同伦之问的细微区别与联系。首先回顾下一个恰当的度量空间是指其中闭的有界集是紧集的度量空间。一个映射，：X—y称为恰当的，如果对任意的有界子集B属丁复日大学硕士学位论文y，，ofB)在X中是有界集。定义1．1．令x，Y是两个恰当的度量空间。一个粗映射是指一个恰当的映射，：x—Y使得对任意的R>O存在S>o有d(z，g)S只爿d(，+(z)，，(封))≤s．。定义1．2．令x，Y是两个恰当的度量空间。粗同伦是指个连续的恰当映射^(z，t)：x×【O，11一y使得对任意的R>o存在S>o有d(z，“)≤R=；=}d(h(z，t)h(g

5、、￡))≤s，对所有t∈[0，1]年口z，Ⅳ∈．x成立。两个粗映射，，9：X—Y称为粗同伦，女¨果存在一个料同伦h‘x×[o，1]一y使得^(z，o)=，(z)；^(z，1)=g(z)，对所有z∈x成立。一个粗映射，：X—Y称为粗同伦等价，如果存在一个粗映射g：Y—x使得，9和9，分别粗同伦于，dy和』奴。此时x和Y成为粗同伦等价。空间R和Z不是粗同伦等价的，但是欧几里得空间和双曲平面是粗i司伦等价的12]。定义1．3．令X，Y是两个恰当的度量空间；，和9是从x到Y的两个恰当的利普希兹映射。一个连接，和9的连续映射F(z，t)：x×【o，1】一

6、y称为强利普希兹同伦，如果满足以下条件：(』)对任意的t，F(z．t)是⋯个恰当映劓；(2)存在常数e>o，对任意的z．∥∈x和t∈[o．1】，使得d(F(z，t)，F(p，t))≤Gd(z，p)，其中G称为利普希兹常数：(3)刘仟意的￡>0，存在d>0使得如果ftl一￡2

7、加清晰易于比较的形式：一个粗同伦是指个连续映射忍(z，t)：x×[o，1]一y连接粗映射，和g，满足以下条件：2复日．大学硕士学位论文(1)^(∞，t)是x×[o，1]到Y的恰当映射；(2)对任意的R>O，存在s>o有d(z，g)茎月==号d(^(zt)，^(Ⅳ，t))曼s，对所有t∈【o，i]和：。，可∈x成立；(3)h(z，o)=，(z)；h(z1)=9(。)，对所有z∈x成立。引理1．1．当x是长度空间，y是任意度量空间时，，：X—Y的以下性质等价：(』)剥任意的R>0，存在s>o使得d(∞，g)≤R=专d(，(z)，，(v))sS：(2

8、)大范围利普希兹条件：存在常数e>o，A>o使得d(，(z)，，(Ⅳ))≤C?d(z，Ⅳ)+A粗同伦和强利普希兹同伦的比较：首先根据[O，1]区间是紧