关于双曲几何和klein群相关性质的研究

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1、摘要双曲几何与Klein群均是复分析中的重要研究领域．由于Ahlfors、Bers、Sullivan等的出色工作，使其与Teichmuller空间、复解析动力系统、双曲流形等领域的研究紧密相关．特别是近年来Thurston在三维双曲流形方面的突出成就，使其内容更加丰富，人们对其的研究兴趣与日倍增．本文主要研究复双曲几何与Klein群的一些代数和几何性质，得到系列结果．本文由七章构成，具体安排如下：第一章，我们介绍了研究问题的背景和得到的主要结果．第二章，我们主要介绍复双曲几何中的一些基本概念及已有的相关结果．第三章，我们在复双曲空间中

2、讨论了Jorgensen的离散准则，得到了PU(n，1)中子群的离散性与其二元生成子群离散

3、生之间的关系．第四章，我们首先将Maskit关于Fuchs群的一个特征推广到复双曲空间情形，并构造了一些与存在性有关的例子；接着，我们讨论了复双曲空间的纯椭圆子群，并将Katok，Jcrgensen的相应结果推广到复双曲空间情形．第五章，我们讨论了当基本群G的挠元素是一致有界时对应的复完全双曲分支流形的体积，给出了这类复流形体积的一个下界．第六章，我们提出了“F-条件”，并利用此条件讨论了Klein群的代数收敛性，所得结果推广了Martin等的

4、相关讨论．第七章，我们完善了Kim关于商空间中点之间的距离与对应实双曲空间中原像距离关系的一个结果；并利用双曲等腰直角三角形给出实双曲等距映射的一个刻画．关键词：复双曲空间，测地子流形，离散准则，Fuchs群，椭圆元素，斜驶元素，完全分支双曲流形，体积，代数收敛，双曲等距映射．ABSTRACTThehyperbolicgeometryandKleiniangroupsareimportantresearchareasincomplexanalysis．DuetoAhlfors，Bets，Sullivan’SexceUentworks，

5、thehyperobolicgeometryandKleiniangroupsbecomemoreandmorecloselyrelatedtothestudiesofTeichmullerspaces，complexanalyticdynamics，hyperbolicman·ifoldsandSOon．Inparticular，Thurston’Sfamousworkson3-manifoldsenrichthestudyonthehyperbolicgeometryandKleiniangroups，andthisstudyat

6、-tractsmoreandmoreattension．ThemainaimofthisdissertationistodisscussthealgebraicandgeometricpropertiesofthecomplexhyperbolicgeometryandKleiniangroups．Thisdissertationconsistsof7chapters．Theyarearrangedasfollows．InChapter1，wegivethebackgroundofourresearchandthestatements

7、ofourmainresults．’InChapter2，weintroducesomebasicdefinitionsandknownresultsonthecomplexhyperbolicgeometry．InChapter3，wegeneralizeJorgensen’SdicretenesscriteriatothesettingofcomplexhyperbolicspacesandfindtherelationsbetweenthediscretenessofsubgroupsGinPU(n，1)andtheoneoft

8、heirtwo-generatorsubgroups．InChapter4，wegiveacharacterizationofFuchsiangroupsactingoncomplexhyperbolicspaceswhichisageneralizationofMasldt’SresultinrealFuchsiangroupsandconstructsomeexamplestoshowtheexistence．WealsodiscusspurelyellipticsubgroupsinPU(n，1)andgeneralizeKat

9、ok，Jorgensen’Sresultstothecaseofcomplexhyperbolicspaces．InChapter5，westudythevolumesofcomplexhyperbolicorbifol