Heisenberg群上的（p，Φ）-容量

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1、浙江大学理学院硕士学位论文Heisenberg群上的（p，Φ）-容量姓名：周婕申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：王伟20070501摘要第二章中我们把欧式空间上容量的定义推广到Heis∞be。吕群上二设n是Ⅱ驴中的开集，F是Q中的一个紧集，且圣(z．∈)∈c(QXⅡ“)，非负，关于∈一次正齐次，则in‘{厶p扛，VHu)]9dz，u∈吼(F)n)}称为关于Q的F的仞，垂)一容量：其中吼(F)n)={“∈c护(Q)：在F上让≥1)。接着根据Heisenberg群上的coarea公式得到容量在水平曲面上的积分表示公式：p—cap(F’n)=。；。in。只fn，{Z1

2、石：=_i亨：习兰杀)1一p其中n是Ⅱp中的开集，F是Q中任意紧集，P≥1，Q=2n+2。然后利用THeisenberg群上的等周不等式，对p一容量的下界进行了估计，得到如下结果：存在常数G，使得”啾删≥elm(f2暴箫!≯’豢三嚣第三章里我们在第二章的基础上做了～些估计，特别讨论了包含Nt的P一容量的积分不等式的估计。我们还得到了Heisenbe‘g群上orlicz范数的S0bolev型不等式估计以及关于一些乘积型Sobolev不等式成立的条件估计。关键词：Heisenberg群，容量，水平梯度，Coareaff式，等周不等式，Hausdorff钡0度，Orhcz空间

3、。‘AbstractInchapter2,wegeneralizethedefinitionofcapaci哆onEuclidspacetotheHeisenbergLetQbeadomainintheHeisenberggroup，letFbeacompactsubsetinQandlet圣($，f)beacontinuousfunctiononn×Ⅱ耍nwhichisnonnegativeandpositivehomoge-neousofthefirstdegreewithrespectto∈．inf{上降(毛VH让)】‰，u∈9t(F’Q))，iscalledth

4、e0，垂)--capacityofFrelativetoQanddenotedby∞，圣)-cap(F,Q)．Here吼(F'Q)=扣∈cT(Q)：钍≥lonF)．Andthenwegettheformulafoft}伦p-capacityasanintegraloverlevelsurfacesaccordingtheCoareaformulaOntheStratifiedgroup：⋯、r，‘dr111p_cap限哟。删in删f{上万而若蕊硒rwhereQisadomainintheHeisenberggroupandFisanycompactsubsettofLP

5、≥1,Q=2n+2．Thenwegetthelowerestimatesforthep-capacitybyusingtheisoperimetricin-equalityOnHeisenberggroup：Pc．ap(F,n)PQ泵薪甲’～when删p-#Q．forSOmeconstantC≥0．Inchapter3,wemakesomeestimatesforthep-capacity,especiallyoftheestimatefortheintegralcontainingthep-capacityofthesetNt．WealsoobtaintheSobol

6、ev-typeinequalityinOrliczI101TlIOiltheHeisenberggroupandtheconditionsforthevalidityofthemultiplicativeSobolev-typeinequality．KeyWords：Heisenberggroup,capacity,Horizontalgradient,Coareaformula,isoperi-metricinequality,Hausdorffmeaslll屯，Orhczspace．H第1章引言积分形式的容量定义inf。．凡l(x，牡，Vu)dx是mChoquet在

7、【51中引进的。并且还介绍了容量的一般性的理论。容量函数的产生是源于几何的需要，特勇J是在共形几何中显得尤为重要。我们知道，拟共形映射理论是数学中非常活跃的分支，它实质上是对无限小球的形状和大小保持一致有界偏差的同胚，在数学的很多领域中都有着广泛的应用．Heisenberg群上的拟共形映射是由Mostow在[61弓1入的，A．Korjmyi和H．M．Reimann在f71中完善了这一理论，并给出了拟共形映射的度量、几何、分析定义。拟共形映射除了由度量可以定义外，还可以由容量来定义，且J．vi酷美la在【8】中证明了拟共形映射这两种定义是等