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1、Heisenberg方程族的换位表示山西大学(自然科学版)22【4):349～355?1999Jm'mlotsll删University(Nat.Sci.Ed.)文章编号:0253—2395(1999)04—0349—07一3Heisenberg方程族的换位表示李晋斌李录———————一(山西大学物理系,山西太原030006)oq-iI,J摘要:考虑Helsenberg自旋链,利用谱梯度方法.首先给出Hei~nberg谱问题的算子对,由此获得Hei~nberg方程旗,接下来通过求解一十关键性算子方程,得到He~senberg方程旗的换位表示
2、关键词:Hei~nberg方程;谱梯度方法;换位表示中图分类号:04II文献标识码,《]鼬货考虑具有自旋密度为(,r)(=l,2.3)的无限线性自旋链,自旋长度恒为一,即;(t)=1.由Poi~on括号;(J',t),(,t)}=,,(,t)(一)(,k,=l,2,3)和Hamilton量H(§):f+[{():+(§.一§,而.)]d产生的动力系统便是Heisenberg自旋链.由警=[.H]可导出其运动方程,其中第一分量为鲁l1H]=[f:{(§,.)十(§o一§,而0']d]=,{()+(§【r§.而0)]d.二:;2S3,一32.+
3、S2J~03一n02S3,lal理可得第二,三分量分别为n,收稿日期:l9一07一II作者简介:李晋斌,(I976一),山西ft县人,1999年毕业于山西大学物理系基地班.现J』J中科院理论物理所硕士生.350山西大学(自然科学版)丑《4)1999等=[3,H]:SIS2.~一2l,+ln02一n.l2,于是我们得到SJ=S×s船+S×n0,(1)这里矢量n0不依赖和t,且边界条件为lims(x,t)=S0.由于Hamilton量是自旋空间的旋转不变量,故我们特别选取So=(0,0,1).利用Pauli矩阵口:(l,2,),方程(1)可写成
4、s=1ES,s]+去[s,](2)其中S=(§,;)::一l,n=(0,;)=.I十2一1Jt({n.)s1exp(一lita.),得到一1.傲替换s:exp—1Js:{,n..exp(4it~..)n¨Si].p(一lital1)+e】J(,n.)s1exp(一4it[2.)[S,S]十[S,nn]:exp({i~//I1)[s1,SI]exp(一1nl1)十cxp(Iitg20)[sI,n0jexp(一{mIJ)从中消掉方程(2)的第二项,找们仍记S为S,这样就得到s:[S,],(3)其中S:S,S=I,trS:0,limS(,27,t
5、)=3.近年对Hei~nberg自旋链的研究引起物理学家普遍关注,人们利用着名的反散射方法研究经典同态的连续Heisenberg自旋链,并明确给出其单孤子解公式又用Wadati变换结台同态Heisenberg反散射和一个可积非线性发展方程,得到N一孤子解.本文通过对Hei~nberg谱问题的直接研究,利用谱梯度提供一条获得Heisenberg方程族的途径我们首先求出该谱问题的算子对,并由此算子对构造出一递推序列,从而生成一族非线性演化方程之后,通过求解一个关键性算子方程,给出Hei~nberg方程族的换位(Lax)表示,于是便可用反散射方法
6、求解.1谱梯度和Lenard算子对考虑Heisenberg谱问题?=[』(,=刍.(4)其?t=(1,,3)称为(4)的位势,=(l,2),是谱问题(4)的谱参数,依赖区间n为(一oo,}m)或(0,丁),C-n.命题2I设是满足(4)的谱参数,中=(1,)是相应于的特征函数,那幺谱参数^的梯度为李晋斌等:-{menlx~方程族的换位表示tad=[是,叠,是]=鲁{i+jl,(s)L2l2其中C=—i1fn[(;一≠})l+({十i)2+2l23]d.证明按文[]所提供的求谱梯度的方法,首先我们写出该问题的共轭形式一=u,其中=f(),接下
7、来根据=便可得到.由于u(s,)∈sl(2),我们可选取HI这里H:_.这样一来=:]鲥算最后可得到c=一』n<,au>嚣=<,瓦au>c～.对于Heisenberg谱我们求得C=—亍1{[i(i一)I+(+{):+2(?乒21)3]dJn一=<,>=(一≠)=<,2U.1=鲁(+≠i)=<,au,'l=争其中<A,B>=trAB,故命题成立命题22设是满足(4)的谱参数,则有K?gradA=U?gradA(6)r0一S3s2]其中K=,』=Is30～II,a=a,a=a刁=l,并
8、称K,』为谱问题(4)的l—s210JLenard算子对'证明由方程(4)我们可得a(;一{)=[z(i+;)s3+2s2t2].a(+)=ai[(一)3—2s-l2]a(2:.
